江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.5专题提能—“三角”专题提能课讲义.docx

第五讲 专题提能“三角”专题提能课失误1因忽视向量夹角范围而失误例1已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_解析因为(a2b)a，(b2a)b，所以所以即设a，b的夹角为，则cos ，因为0，所以，即a，b的夹角为.答案点评求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到cosa，b.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为0，失误2因不会变角求值而解题受阻例2(2018西安六校联考)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析因为为锐角，所以b，所以CB，所以B.(2)由余弦定理得，b2a2c22accos ，又cb，化简得2b23aba20，解得ab或a2b.因为SABCacsin 2，所以ac8.即ab8.联立，解得或点评(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断策略1特取法：快解三角、向量的基本问题例1设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析由已知条件可知向量a，b是互相垂直的单位向量，故构造a(1,0)，b(0,1)又c是单位向量，故设c(cos ，sin )，(ac)(bc)(1cos ，sin )(cos ，1sin )cos cos2sin sin21sin，当，即时，(ac)(bc)取得最小值，为1.答案1点评本例已知条件中涉及单位向量，我们可以通过构造特殊的向量(cos ，sin )，将向量数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而使得问题简化.策略2换元法：求解三角函数值域问题换元法又称变量替换法，是我们解题常用方法之一对结构较复杂的式子，可把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，可以化繁为简，化难为易本专题常用换元法解决最值问题例2设a0，求f(x)2a(sin xcos x)sin xcos x2a2的最大值和最小值解设sin xcos xt，则t， ，由(sin xcos x)212sin xcos x，得sin xcos x，所以f(x)g(t)2at2a2(t2a)2(a0)，t， 当t时，g(t)取最小值2a22a；若2a，当t时，g(t)取最大值2a22a；若02a，当t2a时，g(t)取最大值.所以f(x)的最小值为2a22a，最大值为点评此题利用局部换元法，设sin xcos xt后，抓住sin xcos x与sin xcos x的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题换元过程中一定要注意参数的范围(t， )与sin xcos x的范围对应，否则将会出错1数形结合思想解决与三角函数有关的方程根的问题例1(2018深圳调研)已知关于x的方程sin xcos xm在0，有两个不等的实根，则m的取值范围是_解析sin xcos xm在0，有两个不等的实根，则sinxm，在同一坐标系中分别作出ysin，x0，和ym的图象如图所示由图象可得，若关于x的方程sin xcos xm在0，有两个不等的实根，则m的取值范围为1，)答案1，)点评本例将方程根的个数转化为直线ym与函数ysin图象交点的个数解决2函数与方程思想解决已知三角函数值求值或求角问题例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2B3cos B10，且a2c2acb2.(1)求边b的长；(2)求ABC周长的最大值解(1)cos 2B3cos B10，2cos2B3cos B20，解得cos B或cos B2(舍去)，又B(0，)，则B，由余弦定理得b2a2c2ac，又 a2c2acb2，b2b20，解得b2(b1，舍去)(2)由正弦定理得，则abc(sin Asin C)2sin AsinA2sin Acos A24sinA2，当A时，周长取得最大值6.点评把解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合起来进行考查是高考命题的主要方向，其基本解题思路是使用正、余弦定理，三角恒等变换等把求解目标化为关于三角形中某个内角的三角函数，通过研究该三角函数的性质得出结论平面向量数量积最值问题的求法典例在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_解法一(坐标法)：以直线OB为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，O，0，B，可得直线AB的方程为2xy1，设P，则，x，(12x)，所以4x23x42，当x时，取最小值是.法二(基向量法)：，|BP|x，x0,1，则()x2，所以当x时，取得最小值是.法三(极化恒等式)：如图，取OB的中点D，连结PD，则()()()()222DP2，即求PD的最小值由图可知，当PDAB时，PD取得最小值为，所以的最小值是.答案点评平面向量数量积的核心是将向量问题代数化，定义法、坐标法都是将其代数化，但极化恒等式可以更快实现代数化，尤其是在出现三角形中点的条件下课时达标训练A组易错清零练1在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a1，B2A且cab，则AC的取值范围是_解析：，ACsin Bsin 2A2cos A，因为cab，所以CAB，即03AA，所以A，AC(1，)答案：(1，)2在边长为1的正三角形ABC中，_.解析：| |cos 120|cos 120|cos 120.答案：3在ABC中，已知AB，cos B，AC边上的中线BD，则sin A的值为_解析：设E为BC的中点，连结DE，则DEAB，且DEAB，设BEx，在BDE中，由余弦定理可得，5x22x，解得x1或x(舍去)，故BC2，从而AC2AB2BC22ABBCcos B，即AC，又sin B，故，sin A.答案：4若sin 2，sin()，且，则的值是_解析：sin 2，cos 2且.又sin()，cos().因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，.答案：B组方法技巧练1在正ABC中，D是BC边上的点，AB3，BD1，则_.解析：()，23233.答案：2若关于x的方程sin xcos xk在区间上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为_. 解析：方程sin xcos xk在区间上有两个不同的实数解等价于ysin xcos x与yk在区间上有两个交点又ysin xcos x2sin，x，作出函数y2sin，x与yk的函数图象如图所示，由图象可知，当k，2)时原方程有两解答案：，2)3设f(x)sin4xsin xcos xcos4x，则f(x)的值域是_解析：f(x)sin4xsin xcos xcos4x1sin 2xsin22x.令tsin 2x1,1，则g(t)1tt22，所以g(t)ming(1)0，g(t)maxg，即f(x)的值域是.答案：4已知向量a，b，满足|a|1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa2b|ab|恒成立，则|b|的取值范围是_解析：由|a|1，a与b的夹角为，可得ab|b|，对|xa2b|ab| 两边平方可得，x2a24xab4b2a22abb2，化简得x22x|b|3|b|2|b|10对一切实数x恒成立所以4|b|24(3|b|2|b|1)0，解得|b|1.答案：1，)5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求证：0B；(2)若sin B，且，求|的值解：(1)证明：因为.所以sin Asin Csin2B，由正弦定理可得，b2ac.因为b2a2c22accos B2ac2accos B，所以cos B，即0B.(2)因为sin B，且b2ac，所以B不是最大角，所以cos B .所以cacos Bac，得ac2，因而b22.由余弦定理得b2a2c22accos B，所以a2c25.所以|2a2c22a2c22accos B8，即|2.6在ABC中，已知tan Atan Btan Atan B.(1)求角C的大小；(2)设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2，且ABC是锐角三角形，求a2b2的取值范围；(3)若ABC的面积为，求ABC的周长的最小值解：(1)由已知得，tan Ctan (AB)，因为0C，所以C.(2)a2b2(2Rsin A)2(2Rsin B)22(sin2Asin2B)cos 2Asin 2Acos，其中A0，0，若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_解析：因为f(x)在区间，上具有单调性，且ff，故函数f(x)的对称中心为.由ff，可得函数f(x)的对称轴为x.设f(x)的最小正周期为T，所以，即T.所以，即T.答案：3在直角ABC中，两条直角边分别为a，b，斜边和斜边上的高分别为c，h，则的取值范围是_解析：因为c，hbsin A，abtan A，所以.设sin Acos At，则问题就转化为求函数y在10，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab_.解析：ab，ba.，cos 0，01.0cos 1，即0ba1.ba，ba.，得(ab)(ba)cos2，(ab)1，即1ab0，(1)用k表示ab；(2)求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小解：(1)已知|kab|akb|，两边平方，得|kab|23|akb|2，即k2a2b22kab3(a2k2b22kab)，8kab(3k2)a2(3k21)b2，ab.a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a21，b21，ab.(2)k212k，即，ab的最小值为，又ab|a|b|cosab，|a|b|1，11cosa，bcosa，b，此时a与b的夹角为60.6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C.(1)求角C的大小；(2)若ABC的外接圆直径为1，求a2b2c2的取值范围解：(1)因为tan C，即，所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin Ccos B，所以sin