自动控制理论第三版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版.pdf

自动控制理论 （夏德钤） 习题答案详解 第二章 2-1 试求图试求图 2-T-1 所示所示 RC 网络的传递函数。网络的传递函数。 (a) 1 1 1 1 1 1 1 1 CsR R Cs R Cs R z， 22 Rz ，则传递函数为： 2121 221 21 2 )( )( RRCsRR RCsRR zz z sU sU i o (b) 设流过 1 C、 2 C的电流分别为 1 I、 2 I，根据电路图列出电压方程： )( 1 )( )()()( 1 )( 2 2 2111 1 sI sC sU sIsIRsI sC sU o i 并且有 )() 1 ()( 1 2 2 21 1 sI sC RsI sC 联立三式可消去)( 1 sI与)( 2 sI，则传递函数为： 1)( 1 11 1 )( )( 222111 2 2121 2 2 1 1 11 2 sCRCRCRsCCRR R sC R sC sCR sC sU sU i o 2-2 假设图假设图 2-T-2 的运算放大器均为理想放大器，试写出以的运算放大器均为理想放大器，试写出以 i u为输入，为输入， o u为输出的传递函为输出的传递函 数。数。 (a)由运算放大器虚短、虚断特性可知： dt du C dt du C R u ii0 ， 0 uuu ic ， 对上式进行拉氏变换得到 )()( )( 0 ssUssU RC sU i i 故传递函数为 RCs RCs sU sU i 1 )( )( 0 (b)由运放虚短、虚断特性有：0 22 R u R uu dt du C ccic ，0 2 1 0 R u R uc ， 联立两式消去 c u得到 0 22 2 0 1 0 1 u R u Rdt du R CR i 对该式进行拉氏变换得 0)( 2 )( 2 )( 2 0 1 0 1 sU R sU R ssU R CR i 故此传递函数为 )4( 4 )( )( 10 RCsR R sU sU i (c)0 2/2/ 11 0 R u R uu dt du C ccc ，且 2 1 R u R u ci ，联立两式可消去 c u得到 0 22 2 1 01 R u R u dt du R CR ii 对该式进行拉氏变换得到 0)( 2 )( 2 )( 2 0 1 1 sU R sU R ssU R CR ii 故此传递函数为 R CsRR sU sU i 4 )4( )( )( 110 2-3 试求图试求图 2-T-3 中以电枢电压中以电枢电压 a u为输入量， 以电动机的转角为输入量， 以电动机的转角为输出量的微分方程式和传为输出量的微分方程式和传 递函数。递函数。 解：设激磁磁通 ffi K恒定 meaaaa m a CCfRsJRfLJsLs C sU s 2 60 2 2-4 一位置随动系统的原理图如图一位置随动系统的原理图如图 2-T-4 所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动 触点一起移动，用触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以电位器检测负载运动的位移，图中以 c 表示电位器滑动触点的位置。另表示电位器滑动触点的位置。另 一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以 r 表示）即为该表示）即为该 随动系统的参考输入。 两电位器滑动触点间的电压差随动系统的参考输入。 两电位器滑动触点间的电压差 e u即是无惯性放大器 （放大系数为即是无惯性放大器 （放大系数为 a K） 的输入，放大器向直流电动机的输入，放大器向直流电动机 M供电，电枢电压为供电，电枢电压为u，电流为，电流为 I。电动机的角位移为。电动机的角位移为。 解： mAmeaaaa mA CKsCCfRisJRfLiJsiL CK sR sC 2 60 23 2-5 图图 2-T-5 所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流 d i与与 d u间的关系为间的关系为 110 026. 0 6 d u d ei。 假 设 电 路 中 的。 假 设 电 路 中 的 3 10R， 静 态 工 作 点， 静 态 工 作 点Vu39. 2 0 ， Ai 3 0 1019. 2 。试求在工作点。试求在工作点),( 00 iu附近附近)( dd ufi 的线性化方程。的线性化方程。 解：2 . 0084. 01019. 2 3 dd ui 2-6 试写出图试写出图 2-T-6 所示系统的微分方程，并根据力所示系统的微分方程，并根据力电压的相似量画出相似电路。电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块 1 m、 2 m受力分析可列出如下方程： )( )()( 122 2 2 11122 1 1 yyk dt dv m ykfyyktF dt dv m 代入 dt dy v 1 1 、 dt dy v 2 2 得 )( )()( 122 2 2 2 2 11122 2 1 2 1 yyk dt yd m ykfyyktF dt yd m 2-7 图图 2-T-7 为插了一个温度计的槽。槽内温度为为插了一个温度计的槽。槽内温度为 i ，温度计显示温度为，温度计显示温度为。试求传递函数。试求传递函数 )( )( s s i （考虑温度计有贮存热的热容（考虑温度计有贮存热的热容 C 和限制热流的和限制热流的热阻热阻 R） 。） 。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程： Rdt d C i 对上式进行拉氏变换得到 R ss sCs i )()( )( 则传递函数为 1 1 )( )( RCss s i 2-8 试简化图试简化图 2-T-8 所示的系统框图，并求系统的传递函数所示的系统框图，并求系统的传递函数 )( )( sR sC 。 解：(a) 化简过程如下 G3 G1 H1 _ G2 G1 R(s) C(s) + + + + C(s) R(s) + _ G1+G2 G1+H1 G3 R(s) C(s) G1+G2 )(1 113 3 HGG G G1 G2 G3 H1 + _ + _ + C(s) R(s) a) + G1 H1 G2 G4 H3 G3 H2 + + + + _ _ R(s) C(s) b) 图 2-T-8 传递函数为 )(1 )( )( )( 113 213 HGG GGG sR sC (b) 化简过程如下 传递函数为 )(1 )( )( )( 312432121 4321 GGHGGGHGG GGGG sR sC 2-9 试简化图试简化图 2-T-9 所示系统的框图，并求系统的传递函数所示系统的框图，并求系统的传递函数 )( )( sR sC 。 C(s) R(s) )(1 )( 113 213 HGG GGG H3 C(s) + + _ G1 G4 G3 H1 G2 G2 H2 1/G1 _ + R(s) R(s) G4+G2G 3 121 1 1HGG G H3+H2/G + _ C(s) )(1 )( 312432121 4321 HGHGGGHGG GGGG C(s) R(s) _ + 0.7 s21 4.0 0.5 Ks 0.4 13.0 1 2 ss + + + _ R(s) C(s) 图 2-T-9 解：化简过程如下 系统的传递函数为 52. 042. 018. 17 . 09 . 0 42. 07 . 0 23 sksks s sR sC 2-10 绘出图绘出图 2-T-10 所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数 )( )( sR sC 。 + + 0.7 6 . 0 2 . 0 s 13 . 0 1 2 ss 0.4 Ks _ _ R(s) C(s) + _ Ks 0.7 08. 0)6 . 0)(13 . 0( 6 . 0 2 sss s R(s) C(s) 52. 0)42. 018. 1 ()7 . 09 . 0( 42. 07 . 0 23 sksks s C(s) R(s) G1 H1 G2 H2 G4 G3 _ + + + + + R(s) C(s) 图 2-T-10 系统的传递函数为 4 23212112 321 1 G HGGHGGHG GGG sR sC 2-11 试绘出图试绘出图 2-T-11 所示系统的信号流程图，并求传递函数所示系统的信号流程图，并求传递函数 )( )( 1 1 sR sC 和和 )( )( 2 2 sR sC （设（设 0)( 2 sR） 。） 。 解：系统信号流程图如图所示。 题 2-11 系统信号流程图 215421421 2654212 215421421 3211 1 1 HHGGGGGGG HGGGGG sR sC HHGGGGGGG GGG sR sC 2-12 求图求图 2-T-12 所示系统的传递函数所示系统的传递函数 )( )( sR sC 。 + _ C1(s) + G1 G6 G4 H1 G3 H2 G2 G5 + _ + + R2(s) R1(s) C2(s) 图 2-T-11 解：(a) 系统只有一个回环：cdhL 1 ， 在节点)(sR和)(sC之间有四条前向通道，分别为：abcdefP 1 ，abcdiP 2 ， agdefP 3 ，agdiP 4 ，相应的，有：1 4321 则 cdh agdiagdefabcdiabcdef P sR sC n k kk 1 1 )( )( 1 (b) 系统共有三个回环，因此， sCRsCRsCR L 212211 1 111 ， 两个互不接触的回环只有一组，因此， 2 21212211 2 111 sCCRRsCRsCR L 在节点)(sR和)(sC之间仅有一条前向通道： 2 211211 1 11 1 11 1 sCCRsCRsC P，并且有 1 1 ，则 1)(1 1 )( )( 221211 2 2121 2 11 21 sCRCRCRsCCRR R P LLsR sC 2-13 确定图确定图 2-T-13 中系统的输出中系统的输出)(sC。 解：采用叠加原理，当仅有)(sR作用时， 12122 211 1)( )( HGGHG GG sR sC ， 当仅有)( 1 sD作用时， 12122 2 1 2 1)( )( HGGHG G sD sC ， R(s) _ + G1 G2 H1 H2 + + + + + + _ _ D1(s) D3(s) D2(s) C(s) 图 2-T-13 当仅有)( 2 sD作用时， 12122 2 2 3 1)( )( HGGHG G sD sC ， 当仅有)( 3 sD作用时， 12122 121 3 4 1)( )( HGGHG HGG sD sC 根据叠加原理得出 12122 3121221221 4321 1 )()()()( )()()()()( HGGHG sDHGGsDGsDGsRGG sCsCsCsCsC 第三章 3 3- -1 1 设系统的传递函数为设系统的传递函数为 22 2 2)( )( nn n sssR sC 求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有 ttr)(， 2 1 )( s sR 所以有 222 2 1 2 )( sss sC nn n 分三种情况讨论 （1）当1时， 2 2 1 2 2 1 2 2 2, 1 11 12 12 1 22 tt n n n nn ee ttc s （2）当10时， 2 2 2 2 2, 1 1 arctan21sin 1 12 1 tettc js n t n n n n （3）当1时， tettc s n t nn n n 2 1 22 )( 2, 1 设系统为单位反馈系统,有 2 2 2 2 nn n r s ss sRscsRsE 系统对单位斜坡输入的稳态误差为 nnn n s sr ss ss s sime 2 2 21 2 2 2 0 3 3- -2 2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为 （1 1） )21)(1 . 01 ( 50 )( ss sG （2 2） )5 . 01)(1 . 01 ( )( sss K sG （3 3） )102( )41)(21 ( )( 22 sss ssK sG （4 4） )2004( )( 2 sss K sG 解： （1）0)(lim, 0)(lim,50)(lim 2 000 sGsKssGKsGK s a s v s p ； （2）0)(lim,)(lim,)(lim 2 000 sGsKKssGKsGK s a s v s p ； （3） 10 )(lim,)(lim,)(lim 2 000 K sGsKssGKsGK s a s v s p ； （4）0)(lim, 200 )(lim,)(lim 2 000 sGsK K ssGKsGK s a s v s p 3 3- -3 3 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为 ) 11 . 0( 10 )( ss sG 若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。 （1 1） 0 )(Rtr， （， （2 2）tRRtr 10 )(， （， （3 3） 2 210 2 1 )(tRtRRtr 解：首先求系统的给定误差传递函数 101 . 0 ) 11 . 0( )(1 1 )( )( 2 ss ss sGsR sE s e 误差系数可求得如下 0 )101 . 0( ) 12 . 0(20)101 . 0(2 limlim 1 . 0 )101 . 0( ) 12 . 0(10 limlim 0 101 . 0 ) 11 . 0( limlim 32 22 0 2 2 0 2 22 00 1 2 00 0 ss sss s ds d C ss s s ds d C ss ss sC s e s s e s s e s （1） 0 )(Rtr，此时有0)()(,)( 0 trtrRtr sss ，于是稳态误差级数为 0)( 0 trCte ssr ，0t （2）tRRtr 10 )(，此时有0)(,)(,)( 110 trRtrtRRtr sss ，于是稳态误差 级数为 110 1 . 0)()(RtrCtrCte sssr ，0t （3） 2 210 2 1 )(tRtRRtr，此时有tRRtrtRtRRtr ss21 2 210 )(, 2 1 )(， 2 )(Rtrs ，于是稳态误差级数为 )( 1 . 0)( ! 2 )()( 21 2 10 tRRtr C trCtrCte ssssr ，0t 3 3- -4 4 设单位反馈系统的设单位反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 ) 11 . 0( 10 )( ss sG 若输入为若输入为ttr5sin)(，求此系统的给定稳态误差级数。，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 5001 . 0 ) 11 . 0( )(1 1 )( )( 2 ss ss sGsR sE s e 误差系数可求得如下 232 22 0 2 2 0 2 22 00 1 2 00 0 500 98 )5001 . 0( ) 12 . 0(1000)5001 . 0(100 limlim 500 1 )5001 . 0( ) 12 . 0(500 limlim 0 5001 . 0 ) 11 . 0( limlim ss sss s ds d C ss s s ds d C ss ss sC s e s s e s s e s 以及 ttr ttr ttr s s s 5sin25)( 5cos5)( 5sin)( 则稳态误差级数为 tt tCt C Ctesr 5cos1015sin109 . 4 5cos55sin25 2 24 1 2 0 3 3- -6 6 系统的系统的框图如图框图如图 3 3- -T T- -1a1a 所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入 端加入一比例微分环节（参见图端加入一比例微分环节（参见图 3 3- -T T- -1b1b） ，试证明当适当选取） ，试证明当适当选取 a a 值后，系统跟踪斜坡输入的值后，系统跟踪斜坡输入的 稳态误差可以消除。稳态误差可以消除。 )2( 2 n n ss R(s) C(s) a) + _ 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为： n sr e 2 ，加入比例微分环节后 n n s sr nn nn nn n a ssEe s sR sR ss sas sCsRsE sR ss as sR sG sGas sC sGsCassRsC 2 lim 1 2 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 可见取 n a 2 ，可使0 sr e 3 3- -7 7 单位反馈二阶系统，已单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为知其开环传递函数为 )2( )( 2 n n ss sG 从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图 3 3- -T T- -2 2 所示。经测量知，所示。经测量知，096. 0 p M， stp2 . 0。试确定传递函数中的参量。试确定传递函数中的参量及及 n 。 解：由图可以判断出10，因此有 C(s) as1 )2( 2 n n ss b) R(s) 图 3-T-1 + _ n p p t M 2 2 1 %100) 1 exp( 代入096. 0 p M，2 . 0 p t可求出 588.19 598. 0 n 3 3- -8 8 反馈控反馈控制系统的框图如图制系统的框图如图 3 3- -T T- -3 3 所示，要求所示，要求 （1 1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2 2）整个系统的特征方程为）整个系统的特征方程为0464 23 sss 求三阶开环传递函数求三阶开环传递函数)(sG，使得同时满足上述要求。，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为 32 2 1 3 )( )( ksksks K sR sC 根据条件（1）0 )(1 1 lim 32 2 1 3 32 2 1 3 0 Kksksks ksksks sG e s sr 可知：0 3 k； 根据条件（2）0464)( 23 ssssD可知：4 1 k，6 2 k，4K。 所以有 64 4 2 sss sG 3 3- -9 9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为)(sG，如要求，如要求 （1 1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于 2.02.0。 （2 2）三阶系统的一对主导极点为）三阶系统的一对主导极点为11, 21 jss。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数求同时满足上述条件的系统开环传递函数)(sG。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程 02)22()2()(22()(1)(1( 232 asasasasssasjsjs 将上式与0)(1sG比较，可得系统的开环传递函数 )22()2( 2 )( 2 asass a sG G(s R(sC(s + _ 图 3-T-3 根据条件（1） ，可得 a a e K sr v 22 2 5 . 0 1 解得1a，于是由系统的开环传递函数为 43 2 )( 2 sss sG 3 3- -10 10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 1( )( ss K sG 试求在下列试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）sK1, 5 . 4 （2 2）sK1, 1 （3 3）sK1,16. 0 解：系统单位阶跃响应的象函数为 ) 1( )()()( 2 ss K sGsRsC （1）将5 . 4K，1s 代入式中可求出srad n /12. 2，24. 0，为欠阻尼系统， 因此得出 %46 p M，%)2(86. 7sts，%)5(90. 5s （2）将1K，1s 代入式中可求出srad n /1，5 . 0， ，为欠阻尼系统，因此 得出 %3 .16 p M，%)2(8stss，%)5(6s （3）将16. 0K，1s 代入式中可求出srad n /4 . 0，25. 1，过阻尼，无最 大超调量。因此只有15 s ts。 3 3- -11 11 系统的框图如图系统的框图如图 3-T-4 所示，试求当所示，试求当 a=0 时时,系统的之值。如要求，是确定系统的之值。如要求，是确定 a 的值。的值。 （1） 当 a=0 时， 则系统传传递函数为 82 8 )( 2 ss sG， 其中228 n ，22 n ， 所以有354. 0。 （ 2 ） n 不 变 时， 系统 传 函数 为 8)28( 8 )( 2 sas sG， 要 求7 . 0， 则 有 ) 14(22a n ，所以可求得求得25. 0a。 3 3- -12 12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析 z=1 的零点对系统单位的零点对系统单位 脉冲响应和单位阶跃响应的影响。脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 0,1sin 1 2 2 ttetc n tn n （b）有零点1z时 0, 1 1 1sin 1 21 2 2 2 2 tarctgtetc n n n tnnn n 比较上述两种情况，可见有零点1z时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生 相移，相移角为 n n arctg 1 1 2 。 2单位阶跃响应 (a) 无零点时 0, 1 1sin 1 1 1 2 2 2 tarctgtetc n t n （b）有零点1z时 0, 1 1sin 1 21 1 2 2 2 2 tarctgtetc n n tnn n 加了1z的零点之后，超调量 p M和超调时间 p t都小于没有零点的情况。 3 3- -13 13 单位反馈控制系统的框图如图单位反馈控制系统的框图如图 3-T-5 所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初初 始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何 必然存在超调现象？必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图 3-T-5 所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例- 积分环节 s sK1 11 ，当误差信号 0te时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故 系统输出继续增长，知道出现 0te时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此， 系统的响应必然存在超调现象。 3 3- -14 14 上述系统，上述系统，如在如在 tr为常量时，加于系统的扰动为常量时，加于系统的扰动 tn为阶跃函数形式，是从环节及物为阶跃函数形式，是从环节及物 理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动 tn为斜坡函数形式，为何扰动为斜坡函数形式，为何扰动 稳态误差是与时间无关的常量？稳态误差是与时间无关的常量？ 在 tr为常量的情况下，考虑扰动 tn对系统的影响，可将框图重画如下 图 A-3-2 题 3-14 系统框图等效变换 sN sKKss sK sC 11 1212 2 2 根据终值定理，可求得 tn为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为 0， tn为单位斜坡函数 时，系统的稳态误差为 1 1 K 。 从系统的物理作用上看， 因为在反馈回路中有一个积分环节， 所以系统对阶跃函数的扰 动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时 间成正比的信号以和扰动信号平衡， 就使斜坡函数的扰动输入时， 系统扰动稳态误差与时间 无关。 3 3- -15 15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。 （1）劳斯表有 3 03 036 042 381 0 1 2 3 4 s s s s s 则系统系统稳定。 （2）劳斯表有 2 8 21 042 211 0 1 2 3 4 s s s s s 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据， 系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （3） 劳斯表有 10 12 1010 66 1091 1631 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯阵列第一列符号改变两次， 根据劳斯判据， 系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （4）劳斯表有 4 3 4 43 128 462 693 4851 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程 462 24 sssA可求得系统的两对共轭虚数极点2; 4, 32, 1 jsjs。 3 3- -16 16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K 值的范围。值的范围。 （1）K0 时,系统稳定。 （2）K0 时，系统不稳定。 （3）0 s=tf(s); G=1/(s*(1+s)2); margin(G2); 程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。 5-6 根据下列开环频率特性，用根据下列开环频率特性，用 MATLAB 绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判 断系统的稳定性。断系统的稳定性。 （1） ) 12 . 0)(11 . 0)( 10 )()( jjj jHjG 解：命令如下： s=tf(s); G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1); margin(G); 如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2） ) 110)(11 . 0()( 2 )()( 2 jjj jHjG 解：命令如下： s=tf(s); G=2/(s2)*(0.1*s+1)*(10*s+1); margin(G); 如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。 5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传 递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （a） 解：低频段由10lg20K得，10K =2 1 s处，斜率下降 20dB/dec,对应惯性环节 15 . 0 1 s 。 由上可得，传递函数 15 . 0 10 s sG。 相频特性5 . 0)(arctg。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。 （b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节 s 1 。 =2 1 s处，斜率下降 20dB/dec,对应惯性环节 15 . 0 1 s 。 在剪切频率 1 8 . 2 s c 处，1 5 . 01 2 2 cc K ，解得8 . 4K 传递函数为： ) 15 . 0( 8 . 4 )(G ss s （c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加 2 1 s ； 1 1 5 . 0 s处，斜率上升 20dB/dec,对应一阶微分环节12 s； 1 2 2 s处，斜率下降 20dB/dec,对应一阶惯性环节 15 . 0 1 s 传递函数形式为： ) 15 . 0( ) 12( )( 2 ss sK sG 图中所示 Bode 图的低频段可用传递函数为 2 /sK来描述， 则其幅频特性为 2 /K。 取对数， 得 2 1 lg20lg20)(KL。 同理，Bode 图中斜率为-20dB/dec 的中频段可用sK / 1 来描述，则其对数幅频特性为 lg20lg20)( 12 KL。由图有，0)( 2 c LdB,则有 c K 1 。 再看图，由)()( 1211 LL可解得5 . 0 1 c K 综上，系统开环传递函数为 ) 15 . 0( ) 12(5 . 0 )( 2 ss s sG （参考李友善做法） 系统相频特性：5 . 02180)(arctgarctg 曲线如下： 5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图设系统开环频率特性的极坐标图如图 5-T-2 所示，试判断闭环系统的稳定性所示，试判断闭环系统的稳定性。 (a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P0，所以闭环系统不稳定。 (b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。 5-9 根据系统的开环传递函数根据系统的开环传递函数 )5 . 01)(1 ( 2 ()( sss e sHsG s ）绘制系统的伯德图，并确绘制系统的伯德图，并确 定能使系定能使系统稳定之最大统稳定之最大值范围。值范围。 解：0时，经误差修正后 的伯德图如图所 示。从伯德图可 见系统的剪切频 率 1 15. 1 s c ，在剪切频率处系统的相角为 9 .1685 . 090)( ccc arctgarctg 由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有 1 .11的相角滞后，即 1 .11 180 解得s1686. 0。因此使系统稳定的最大值范围为s1686. 00。 5-10 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 )31)(1 ( ()( sss K sHsG ） 试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益 K 值。值。 解：由 sss K sHsG 311 知两个转折频率sradsrad/1,/ 3 1 21 。令 1K，可绘制系统伯德图如图所示。 确定 180)(所对应的角频率 g 。由相频特性表达式 18033. 090)( ggg arctgarctg 可得 90 33. 01 33. 1 2 g g arctg 解出 srad g /732. 13 在伯德图中找到dBL g 5 . 2)(，也即对数幅频特性提高dB5 . 2，系统将处于稳定的临界 状态。因此 3 4 5 . 2lg20KdBK为闭环系统稳定的临界增益值。 5-11 根据图根据图 5-T-3 中中)(jG的伯德图求传递函数的伯德图求传递函数)(sG。 解：由dBL0) 1 . 0(知1K； 由dBL3) 1 (知1是惯性环节由 1 1 s 的转折频率； 从 1 增大到 10，)(L下降约dB23，可确定斜率为decdB/20，知系统无其他 惯性环节、或微分环节和振荡环节。 由 0) 1 . 0(和 83) 1 (知系统有一串联纯滞后环节 s e 。系统的开环传递函数为 1 s e sHsG s 3 由 83 180 1) 1 ( arctg解 得s66. 0。 可 确 定 系 统 的 传 递 函 数 为 1 66. 0 s e sHsG s 第六章 6-1 试求图试求图 6-T-1 所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。 解： （a） ，超前网络的传递函数为 1 RCs RCs sG，伯德图如图所示。 题 6-1 超前网络伯德图 （b） ，滞后网络的传递函数为 1 1 RCs sG，伯德图如图所示。 题 6-1 滞后网络伯德图 6-2 试回答下列问题，着重从物理概念说明：试回答下列问题，着重从物理概念说明： （1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是 否相同否相同？ （2） 如果） 如果错误!未找到引用源。 型系统经校正后希望成为型系统经校正后希望成为错误!未找到引用源。 型系统，型系统， 应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定? （3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？ （4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？ （5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？ 解： （1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为 零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有 源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由 I 型转变为 II型。 （3） 利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角， 可增大系统的相角裕 度 ，从而改善系统的暂态性能。 （4）当减小，相频特性)(朝 0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提 高系统的稳定程度。 （5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。 6-3 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 64 18 )( 2 ss sG （1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 （2）串联传递函数为）串联传递函数为 1125. 0 14 . 0 )( s s sGc的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率 和相角裕度。和相角裕度。 （3）串联传递函数为）串联传递函数为 1100 110 )( s s sGc的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和 相角裕度。相角裕度。 （4）讨论串联超前校正）讨论串联超前校正、串联滞串联滞后校正的不同作用。后校正的不同作用。 解： (1) 用 MA TLAB求得校正前)/88. 3(7 .59srad c （2）串联超前校正后)/89. 5(1 .70srad c （3）串联滞后校正后)/0296. 0(124srad c （4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此 同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。 在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率， 提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。 6-4 设控制系统的开环传递函数为设控制系统的开环传递函数为 ) 11 . 0)(15 . 0( 10 ( sss sG ） （1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （2）采用传递函数为）采用传递函数为 1033. 0 133. 0 )( s s sGc的串联超前校正装置。试求校正后系统的相的串联超前校正装置。试求校正