控制工程3控制系统的数学模型.ppt

控制工程基础,主讲教师：张志成 通信工程学院控制理论与控制工程系,第二章 控制系统的数学模型,控制系统的时域数学模型 拉普拉斯变换及其应用 控制系统的复域数学模型 控制系统的传递函数 控制系统的图形表示：结构图和信号流图,2.2 拉普拉斯变换及其应用,Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！ 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。,函数F(s)称为f (t)的拉氏变换（或称为f (t)的象函数），函数f (t)称为F(s)的原函数，以上公式简称为拉氏变换式，用记号Lf (t)表示，即,2.2.1 拉氏变换的定义,定义 设函数f (t)当t 0时有定义，而且积分,对于s在某一范围内的值收敛，,则由此积分所确定的函数可写为,2.2.1 拉氏变换的定义,说明： （1） ， 和 均为实数，s为一个复参量； （2）定义中，只要求t 0时f (t)有定义，为了方便假设t 0， f (t) = 0； （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，是一种积分变换，一般地在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的，故以后不再对其存在性进行讨论。,拉氏反变换,2.2.1 拉氏变换的定义,为拉氏反变换的符号。,2.2.2 简单函数的拉氏变换,单位阶跃函数,指数函数,正弦（余弦）函数,单位斜坡函数,单位脉动函数,单位脉冲函数,2.2.3 拉氏变换的性质,叠加原理,则有,若a, b是常数，且,微分定理 若 则有 式中f(0)是函数f(t)在t = 0时的值。,微分定理 推论 若 则有 式中f(0), f(0),是函数f(t)的各阶导数在 t = 0时的值。,微分定理 推论 当初始条件为f(0)=0时，则有,积分定理 若 则有,位移定理 若 则有,延迟定理 若 且t0时f(t)=0,则对于 任一非负实数，有,0,t,f(t),初值定理 若 ，且 存在，则 或写为,终值定理 若 ，且 的所有奇点全在s平面的左半部，则 或写为,相似定理 若 且a为大于零的常数，则,2.2.4 拉氏反变换,部分分式法 若f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量 其拉氏反变换可写成,对于控制系统，可写成如下形式,式中，系数a0，an和b0,bm为由系统结构参数决定的实常数，且m n。,对F(s)的分母进行因式分解，则有,对F(s)的分母进行因式分解，则有,式中，s1，sn 是方程A(s)=0时的根，称为F(s)的极点。即可将F(s)展开成部分分式的形式。,有重根的情况分解如下,系数如下,2.2.5 求解常系数线性微分方程,将微分方程经过拉氏变换转换成关于s的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,2.3 控制系统的复域数学模型,用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率分析法和根轨迹分析法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,2.3.1 传递函数,定义 线性定常系统或元件，在其初值为零条件下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统或元件的传递函数。,零初始条件 （1）t0时，输入量及其各阶导数均为零； （2）输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为零。,机械平移系统,RLC无源网络电路,说明 （1）传递函数的概念仅适用于线性定常系统。 （2）系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的常系数微分方程的一种运算方法。 （3）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质（系统的结构和参数）。,说明 （4）如果不知道系统的传递函数，则可以通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述。,传递函数的性质 （1）传递函数是复变量s 的有理真分式，即nm； （2）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，是系统的一种属性，与输入输出无关； （3）传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换； （4）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （5）局限性：在初始条件非零情况下不适用。,传递函数的零点和极点 传递函数有两种基本形式： 式中z0， zm称为零点，p0,pn为称为极点。,令： 称D(s)为系统的特征多项式，称D(s)=0为系统的特征方程。特征方程决定着系统的动态特性，其根称为特征根。特征方程的根就是系统的极点。,在复平面中，零点用“o”表示，极点用“x”表示,传递函数零极点的作用 （1）传递函数的极点产生运动模态； （2）传递函数的零点不能生成自由运动模态，但它可以影响各运动模态在响应中的比重：零点越靠近某极点，该极点对应的运动模态在响应中所占的比重就越小。,传递函数的极点就是微分方程的特征根或系统特征方程的根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。,三、传递函数极点和零点对输出的影响,极点作用:用2取代分子6(s+4)，输入为阶跃函数,1、极点产生自由运动模态,为系统固有，其系数的大小与输入函数形式有关，传函极点受输入函数激发输出响应中形成自由运动模态。 2、一般情况下离虚轴最近的极点对应的自由运动模态在系统的响应中占比重最大。,零点作用,传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重， 例如,输入信号 ，零状态响应分别为,各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。距离越近影响越大。 例如：,四、典型环节传递函数,传函的通式应用不便所以数学上要进行分解,2P+Z+V=n,每个基本因子为一个典型环节,1、比例环节 其数学模型为G(s)=K 其特点为响应快。例如齿轮传动，比例放大器、永磁测速发电机。,Xo(s),2、惯性环节,其数学模型为G(s)=K/（Ts+1） T为时间常数