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文档简介

4.5 环与域上的多项式,一、概念,设,是一个有单位元的环. 又设,是一个记号，,上的未定元. 形如,的表达式称为,称为,上的未定元,的多项式.,上的未定元,的全体多项式，关于多项式的加,法和乘法做成一个环，称为,上的未定元,的多项,式环. 记为,一、概念,定理1. 设,是一个有单位元的环. 则,是整环,是整环.,二、带余除法,定理2. 设,是有单位元的环，,是,上未定元,的多项式环. 则对,中任意的多项式,的最高系数是,上的一个可逆元），,在,中存在唯一多项式,及,使,或,的次数,的次数，,二、带余除法,或,的次数,的次数，,分别称,及,为,用,除所得的右商、右余式与左商、左余式.,三、域上的多项式环,定理3. 设,是域,的一个子域. 则,中元素,是,上多项式,的根，当且仅当,整除,，其中,是域,上的未定元.,三、域上的多项式环,定理4. 设,是域,的一个子域,是域,上的未定元.,则,上,次多项式,在,中根的个数,（k重根以k个计）不超过,的次数n.,三、域上的多项式环,定理5. 设,是域,的一个子域,又,上,多项式,在,中可分解成一次因子的乘积.,则,在,中无重根的充要条件是,内容小结,1. 多项式环的定义,2.
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