北京工业大学线性代数第五章第一节特征值与特征向量.ppt

1,第五章 矩阵的相似标准型,第一节 特征值与特征向量 第二节 相似矩阵 第三节 矩阵的对角化 第四节 实对称矩阵的对角化,2,第一节 特征值与特征向量,一 特征值与特征向量的概念,二特征值与特征向量的计算,三特征值与特征向量的性质,3,一特征值与特征向量的概念,定义：,设A 是数域P 上一个n 阶方阵，如果,存在数域P 中数 和n 维非零列向量 ,使得,特征值 的特征向量,则称 为矩阵A 的特征值， 称为A 的属于,在几何中，在物理学、化学、生物学等,的问题. 于是我们抽象出下述概念.,学科中，都会提出是否有向量 满足,4,如:设,因此，2是A 的一个特征值， 是A的属于,由于,特征值2的一个特征向量,因此，-3是A 的一个特征值， 是A的属于,特征值-3的一个特征向量,又,5, 方阵A可以有有限个不同的特征值, A的属于同一个特征值的特征向量有无穷 多个(且加上0向量构成向量空间即特征子空间),说明：,若,则对于,的特征向量。,若,则,的特征向量。,6,几何意义：,若把矩阵看成变换，其特征向量,就是在该变换下保持不变或伸长(缩短)的向量，,特征向量对应的特征值就是伸缩系数。,A来表示：,易知，坐标轴上的向量(a,0)T,(0,b)T (a,b0),是A的特征向量，对应的特征值是1，-1。,7,可用下述矩阵A来表示：,由于任一非零向量在该变换下都不会变成它的,倍数，因此A没有特征值和特征向量。,问题：,如何判断数域P上的n阶矩阵是否有特征,值和特征向量？若有的话，如何求A的全部特,征值和特征向量？,8,是A 的属于特征值 的特征向量,分析：,二特征值与特征向量存在性的判断与计算,9,定义：,则,称为A的特征多项式,即,10,定理1,设A 是数域P 上一个n 阶方阵，则,是A的一个特征值 是A的特征方程,在数域P 上的一个根,是A的属于特征值 的特征向量,说明：,(1)判断A是否有特征值就是判断A的特征方程,在数域P 上是否有根,(2)求A的属于特征值 的全部特征向量就是求,11, 求A 的全部特征值及特征向量的方法：,全部根,的全部特征值；,1. 计算A的特征多项式,3. 对于A 的每一个特征值 , 求出齐次线性,则A的属于 的全部特征向量为,不全为零,12,例1 求如下矩阵的特征值和特征向量.,(1)求特征值.,则A的全部特征值为,解：,A的特征方程为,(2)求特征向量, 即,13,对于特征值 解齐次线性方程组,对系数矩阵做初等行变换：,14,一个基础解系是,则A的属于 的全部特征向量是,(c1为不等于零任意常数),一般解是,15,对于特征值 解齐次线性方程组,对系数矩阵做出等行变换：,16,一个基础解系是,(c2, c3为不全为零任意常数).,一般解是,则A的属于 的全部特征向量是,17,例 求如下矩阵的特征值和特征向量.,A的全部特征值为,解：,A的特征方程是,实数域上的矩阵A没有特征值,复数域上的矩阵,18,对于特征值 求出齐次线性方程组,基础解系为,则A的属于 的全部特征向量是,(c1为不等于零任意常数),19,对于特征值 求出齐次线性方程组,基础解系为,则A的属于 的全部特征向量是,(c2为不等于零任意常数),问题：对角矩阵(上、下三角阵)的特征值是 什么？,答案：主对角线元素,20,（1）属于矩阵A的每一个特征值的特征向量加上 零向量构成向量空间，称为A的特征子空间。,说明几个概念和结论：,（2）把特征值 在特征多项式中的重数称为 的代数重数；把属于 的特征子空间的维数称 为 的几何重数。,（3）对于每一个特征值而言，它的几何重数总 不大于它的代数重数。,21,三特征值与特征向量的性质,特征值为,，则,22,则 ,n 阶方阵A的迹：,n 阶方阵A的主对角元素之,和称为A的迹，记作 tr(A), 即,性质1,设 的特征值为,行列式的另一种计算法,23,性质2,复特征值.,复数域上的任意n 阶方阵A必有n 个,全不为零.,n 阶方阵A 可逆,A的n 个特征值,性质3,例3,的一个特征值.,证明：,已知 是A的一个特征值，则 是 kA, 是A的特征值, 存在非零向量,使得 成立，,24,证：, 是A的特征值, 存在非零向量,使得 成立，,试证： 是A-1的特征值.,例4 A 是n 阶可逆矩阵， 是A的特征值，,(书P163例5.1.4),25,解：, 是A的特征值,练习：,若A可逆,且 是A的一个特征值, 则,答案:,个特征值是（）,26,例5 设 是 n 阶方阵A的特征值，证明,是A2的特征值.,证：,是A2的特征值.,易知， 是 的特征值。,例6,已知A的n个特征值是,求 3E-A的特征值.,(书P163例5.1.5),27,解：,矩阵3E-A的特征多项式,3E-A的n个特征值是,易知，,A+3E的n个特征值是,28,练习 设 是 n 阶方阵A的特征值，则有,A2+4E必有特征值（ ）.,性质4,从以上例子可以得出,则 必是f(A)的特征值。,A2+3A必有特征值（ ）.,A2+3A+4E必有特征值（ ）.,A5+3A3+2A+E必有特征值（ ）.,29,例7,(幂等矩阵：若A2=A，则称A为幂等矩阵),若A 是幂等矩阵，证明A的特征值,只能是0或1,证：,30,例8,证明 n 阶方阵A 与其转置矩阵AT有相同,的特征值.,（要证A 与AT有相同的特征