方勤华有效数学教学模型：发现法.ppt

有效数学教学模型,方勤华 信阳师范学院数学学院 2010.10.28,2010“国培计划”信阳师范学院数学学院置换脱产研修项目课程,2,第1讲 数学直接对象的教学模型之：发现法学习,3,导言,发现教学法，是数学教师普遍采用的一种方法。普遍采用发现法有几个原因: 它和讲解法模型有关，适合于向全班学生介绍他们所不熟悉的技能、概念和原理，能发挥学生一定的积极性，把他们卷入到课堂活动里来。 对学生来说，它会比教师为中心的讲演更富有趣味。 虽然发现教学法受到了一些教育工作者的批评，他们认为它对介绍材料来说是一种无效的过程，但是它仍可以有效地用于各种不同数学课题的介绍。,4,内容提要,一、发现法学习的定义 二、发现法的目的 三、发现法的性质 四、发现课的进行 五、发现课的效果 六、一堂发现课的课时计划,5,一、发现法学习的定义,用一般术语可以把发现定义为，一个人自己通过运用本人的智慧或者物质材料以获得知识的任何手段。 从狭义来说，发现法学习是学习者对信息进行操作、组织和转化，以得到新信息时所发生的学习。在发现法学习中，学习者可以通过运用归纳或者演绎过程，观察和判断构成一个猜想，提出一个假设，或者“发现”一个数学真理。,6,一、发现法学习的定义,发现新信息的基本原理，就是发现者必须积极参加组织和获得新知识。 当一个学生事先没有考虑，而教师就告诉他说，自然数的乘法是可交换的，这时，这个学生就没有发现乘法是可交换的性质。 当一个学生通过试验和观察发现，在乘法问题中，乘数和被乘数扮演的角色是可以互相交换的，那么他就发现乘法的可交换性。教师也许事先计划好了这个发现，为学生提供试验这个原理的条件；或者学生在没有教师提示的情况下，自己得到它。,7,一、发现法学习的定义,发现法学习通常是在非常有组织的条件下进行的，例如按照学生和教师之间，或者学生和课本之间的相互活动，用一步一步的回答方式，把学生引导到获得一个非常具体的、可以预料到的发现。在另一个极端的情况下教师很少干预或者不干预，而学生通过自己提出问题进行考虑，对问题进行无限制的讨论，得到的是毫无计划的发现。,8,二、发现法的目的,发现法学习有四点一般目的。 第一，使学生通过发现课，学会自己探索问题所必要的一些程序和活动。 第二，学生将端正态度，练习用来解题、探讨和研究的技能。 第三，发现课可以帮助学生增强他们用合理的方式分析、综合和评价知识的能力。 第四，有一些内在报偿，能够动员学生在数学课堂上更有效地学得更多，例如学习任务中的趣味性和得到一个发现后感到的满足。,9,二、发现法的目的,发现法学习更具体的目的有如下6点： (1)在发现课上，学生有机会积极地卷入到课堂里来，而且当教师运用发现教学方法时，许多学生能提高他们参加到课堂活动的水平。 (2)学生通过发现方法，学会在具体和抽象的条件下，找出典型，而且通过对已知条件的深入研究，学会推断出另外的信息。 (3)学生也能学会清楚的提出问题的方法，并且运用这些问题去得到有助于发现的情况。 (4)发现课能帮助学生运用有效的方式在一起学习、交换情况、听取和利用别人的想法。 (5)有一些证据说明，通过发现所学到的技能、概念和原理对学生来说更加富有意义，而且学生记住它们的时间较长一些。 (6)在发现法学习条件下所学到的技能，在某些情况下更加容易迁移到新的学习活动中和应用于其它条件。,10,三、发现法的性质： 1.发现法学习的课堂条件,发现法学习能在教师讲课和小组讨论中进行，也能通过小组活动和数学实验室的实验进行，并且也能在无组织的课堂条件下进行。 然而，当教师的讲课不受干扰，或者是在学生没有被组织起来的课堂条件下，学生发现的可能性是小的。,11,学生很少在教师讲课期间得到发现成果，这是因为对信息和概念进行操作、转化和组织的责任，落在了教师身上，是他把这些概念以最后的形式介绍给学生。学生需要积极地参与活动才能有发现成果，而大多数学生不对以讲演方式所介绍的信息进行分析和评价。学生也许把讲演的材料不经心地写在笔记本上，或者记住它；然而他们很少把它更新组织，或者推导出包含新信息的新形式。有时有些学生的确对讲演中所介绍的某些信息进行过评价，的确发现过教师所没有说明势概念和原理。然而，学生的这类活动通常赶不上讲演者的进度，而且当学生正在对导致一个发现的信息进行思考时，他就错过了教师所介绍的其它信息。错过讲解信息所受到的惩罚，就是要求学生在整个讲授中集中注意力，而不鼓励他们由于去发现而走神。,12,无组织的课堂条件很少导致发现，特别是导致和正在学习的数学内容有关的发现，因为学生也许不会专心于考虑重要的情况。即使学生的确想通过没有教师干预的数学讨论去进行数学发现，这些发现，如果有的话，也往往需要大量的时间，而这些时间，如果是用在其它活动中就会收效更大些。当无组织的发现法学习在课堂上的少数场合下的确发生时，它往往也是无成效的。,13,如果教师开始上课时，先为后续的活动提供一些指导和组织形式，在上课时监督这些活动，而且在适当时间，或者必要时进行引导，在这样的条件下，学生更可能进行一些发现。因而这里所要介绍的是促进发现学习的方法，以避免全部由教师控制或全部由学生控制的这两个极端情况。,三、发现法的性质： 1.发现法学习的课堂条件,14,三、发现法的性质： 2.归纳和演绎的发现方法,学生可以通过归纳或者演绎进行发现。 归纳是概括的过程，是通过概括具体例子进行观察和操作的结果。通过解一系列问题，并且观察包含在所有问题中的一般性质和过程，就能够发现许多算术的概括。 演绎是通过运用逻辑规则构成概括，对概念进行操作。在几何以及数学的其它分支中，通过运用逻辑规则分析定理的某些含意，就能够推导出一些推论。定理的证明本身是一种演绎过程，因为证明一个定理需要对定义、公理和其它定理进行挑选和逻辑安排。,15,三、发现法的性质： 2.归纳和演绎的发现方法,在运用归纳法时，象解题算法、概念和原理的推广，是通过考虑每一种算法、概念或者原理的若干个具体例子来发现的。 演绎涉及到运用逻辑原理去达到推广，然后将这些推广进行评价，找出它们的特定例子或者应用。在数学里，我们运用逻辑原理，把定义和公理结合在一起论证定理，然后再探索这些定理的应用。我们也可以找出这些定理逻辑结合的方法，以便产生出新定理的程序，这些新定理有它们自己的具体表现和应用。,16,三、发现法的性质： 2.归纳和演绎的发现方法,归纳发现法的特点，是从具体例子到概括，而演绎发现法的特点，是从概括到具体例子。 在运用归纳发现方法时，学习者运用直观法(和一些逻辑)把他所观察到的一些有关条件、技巧或者解题方法的共同性质加以概括。在运用演绎发现方法时，学习者运用逻辑法(和一些直观)去构成一个以抽象概念和其它概括为基础的概括。以后(有时是很久以后)，学习者才找到新发现的概括的例子和应用。,17,三、发现法的性质： 2.归纳和演绎的发现方法,虽然为了清楚起见，我们把归纳和演绎发现方法定义为不同的过程，但大多数实际的发现，是通过两种过程的结合进行的。这种说法暗示我们，归纳发现方法是以归纳过程为支配地位的一种方法，而演绎发现方法是以演绎过程为支配地位的一种方法。举例如下：,18,在数学历史的进程中，毕达哥拉斯信徒们(可能还有其他人)通过观察和度量，发现一个直角三角形的斜边的平方等于其它两边的平方和。这个发现最初是通过归纳方法得到的。 然而，毕达哥拉斯定理也可以通过演绎过程得到。在欧几里得的几何原本中所描述的平面几何和中学今天所教的平面几何中，毕达哥拉所定理都是通过把公理、公设和定理结合在一起进行逻辑推理“发现”的。 毕达哥拉斯定理可以不通过对一个直角三角形图形的观察，而用其它的概括方法演绎得到。当毕达哥拉斯定理用归纳法发现时，对具体三角形的观察，就可以使这个定理抽象化和普遍化。这种演绎发现是从一些抽象和一般的定义、公理、公设开始的，而结束时就成了一般定理。,19,关于勾股定理数学小知识,20,中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2=c2,21,四、发现课的进行,发现法教学是通过一系列学习活动，导致学习者发现的过程。 发现法教学的一般步骤是： 创设发现情境 探求问题答案 交流发现结果 小结发现结果 运用发现结果,22,四、发现课的进行,发现课可以通过教师有领导地讲解的方法，或者通过以学生为中心的实验室活动来进行。 在一些发现课中，教师可以挑选需要学生运用归纳过程的活动，其它发现课也许需要演绎过程，而许多课却需要归纳和演绎过程的结合。,23,四、发现课的进行： 教师有领导地讲解的方法,虽然教师的纯讲演很少能鼓励学生去发现，但教师经常提问和学生相互反应的讲解教学，却能够引导学生去发现。 教师在运用讲解技巧促进学生的发现时，他的作用应当是一个监督员，或者讨论的领导者，而不应当是知识的介绍者。教师应当鼓励学生互相讨论概念，应当把讨论引导到有用的成果方向，不鼓励沿着无成果的方向进行讨论，而且应当控制住概念的讨论进程和课堂内的活动。（续）,24,四、发现课的进行： 教师有领导地讲解的方法,在主持一堂发现课时，教师不应当把它组织得过了头，以免使学生只是坐等教师一步一步地进行他脑子里已有的，无论什么样的数学发现。 教师也不应当允许全班长时间无指导地进行活动，这会导致无成果的活动。 教师可以通过复习有关知识开始一堂讲解发现课，他的介绍应当引导到所要发现的条件，并且为随后的讨论列出纲要。 在讨论中，教师应当回答学生的问题，并且当由学生控制的讨论呈现出僵持局面时，教师应当提出一个引导性的问题，或者提供一点有关信息。（续）,25,四、发现课的进行： 教师有领导地讲解的方法,在全班得到一个发现后，教师应当帮助学生把它组成一个可理解的和有用的结论，鼓励全班学生去检验这个发现的效力，并且帮助学生把它和有关信息结合在一起，以便巩固它。在这些活动以后，应当是实践和应用这个发现。 如果在一堂发现课上，教师自始至终控制过多的话，就会抑制学生参加活动，或者这堂课就会变成一个游戏，使学生猜测教师正在考虑的东西。教师控制太少，又会导致发现没有进展，教师最理想的角色是个监督员的角色，而不是讲演者或者非参加者的角色。（续）,26,四、发现课的进行： 教师有领导地讲解的方法,正如以上所讨论的，发现课可以通过由全班做为一个大组参加进来的一种讲解教学方法来完成。数学发现也可以通过学生小组在一起学习，或者个别地进行实验室活动获得。 小组的发现课如何进行呢？,27,四、发现课的进行： 小组的发现课如何进行呢？,以上是以一种讲解的发现课提出的一般意见，它虽然也适用于一个小组的发现课，但教师的作用是有点不同的。因为教师不能象把全班做为一个整体进行引导那样，去对每个小组，或者对每个个别学生进行引导，所以有必要事先另作准备，以便给小组和个人提供指示，使他们大部分能自己照着做。（续）,28,四、发现课的进行： 小组的发现课如何进行呢？,如果你要通过实验室活动得到发现，也许有必要给学生准备活页习题或者成套实验装置和材料。有时，可以在课上要求学生写出问题的解答，或者在完成了每一步实验的活动后，记录下数据。活页习题的纲要，应当具体到足以使学生不对他们所应当做的事情感到混乱，但是它们也不能过于详细，避免使学生自动地得出所预期的发现。活页习题应当给学生提供对活动的分析和对结果的评价，以便达到发现的目的。,29,四、发现课的进行： 归纳的发现课如何进行呢？,当归纳过程需要用于发现时，教师应当确实让学生得到所有必要的具体情况，使他们能发现恰当的概括。应当给每个概括提供许多不同例子，使这种概括充分地得到说明。为了避免不合适地概括，应当有反面的例子。,30,四、发现课的进行： 演绎的发现课如何进行呢？,中学数学中的演绎发现课，最适用于处在皮亚杰形式运演阶段岁数大一些的学生。这些学生从智力上武装得较好，他们能够把已知的概括综合成为新的概括。当定理需要从定义、公理和其它定理推导出来，或者需要组成定理的证明时，演绎发现课是非常有用的。然而演绎发现需要运用数学逻辑和抽象推理，所以它们比归纳发现需要更多的时间，而且得到发现可能性更小。,31,四、发现课的进行：包括在归纳或者演绎过程的讲解中,或者实验的发现课中的思考和活动,(1)可以向学生提出错综复杂的问题和条件，以便激发他们去发现。 (2)可以分析数学算法和技能，以便发现所包含的一般数学概念和原理。 (3)每堂发现课应当从已知的信息开始，并且一步一步进行到新信息和综合的发现； (4)应当运用预先评价的方法，找出学生是否具备进行每个预期的归纳发现所需要的技能和知识。 (5)预先评价的方法，也应当用于确定学生是否知道每一个归纳发现所必需的概念和原理。,32,四、发现课的进行：包括在归纳或者演绎过程的讲解中或者实验的发现课中的思考和活动,(6)在发现法学习条件下，教师选择好干预的时间是重要的。在学生末准备好运用有用的信息以前，不应当向他们做介绍；在教师劝说学生不去考虑每一个无成果的方法以前，应当给学生一个机会，去评价它和抛弃它；应当允许学生提出和检验他们自己的程序；教师不应当经常干预，这会抑制学生参加，或者使预期的发现变得明显。 (7)教师应当允许学生用几种方式进行一个数学发现，而且应当提供或者接受不同的发现。,33,四、发现课的进行：包括在归纳或者演绎过程的讲解中或者实验的发现课中的思考和活动,(8)定义、公理、公设、符号和任意惯例是难以发现的，而且为发现它们所设计的课，通常是“猜我所想”的游戏。 (9)概念模型、具体模型、游戏和器械对于促进发现是有用的。 (10)不要把发现方法用过头；如果经常运用，它们就会花费很多时间，学生也会厌倦。 (11)当发现深陷于困境时，可以把引导性问题和其它暗示当做提示的内容。 (12)有时应当允许学生挑选他们自己的问题和活动，把它们用于数学概括的发现。,34,四、发现课的进行：包括在归纳或者演绎过程的讲解中或者实验的发现课中的思考和活动,(13)应当鼓励学生，针对现实和其他学生的意见、知识检验他们的试验发现，而不让他们依赖教师。不把教师做为知识的源泉和公断人。 (14)在大多数情况下，小组活动比个别活动对于发现更为适宜，因为小组能提供更多的想法和评论。 (15)过多的帮助，或者过多的信息，能导致过分注意细节，而妨碍考虑做为发现要素的概括。 (16)即使在小组里有几个学生始终都得到一些发现，也应当奖励和鼓励另外一些学生，是他们贡献出自己的想法和信息，以引起讨论，把讨论引向新的想法或者新的发现。,35,五、发现课的效果,发现法学习不仅缺乏教育中所普遍公认的一个标准定义，而且它也缺少一系列一般公认的效果。 有些证据说明，学生通过讲演法和发现法都学得一样好。这也说明发现法会增强学习动力。看起来发现法对于数学某些课题的教学，可以是一种有效的方法，但它并不是一种广泛适用于教育的方法。 发现法学习的一些明显的缺陷，就是它缺乏给学生以结构上的影响，会导致错误、不正确的发现成者根本没有发现。发现法学习比其它方法，如讲演和演示等，通常要花费更多的时间，而习惯于以教师为中心的方法的学生，也许会由于需要由自己发现概括的责任没有完成而感到灰心。,36,五、发现课的效果,大卫(R.B. Davis)在一篇题为数学教学中的发现的文章中，提出了以发现为方向的研究课题的下列目标。这些目标可以看作是一套发现教学方法的目的。,37,五、发现课的效果,(1)我们要给学生在抽象条件下发现典型的经验； (2)我们要学生具有关于识别潜在的无限制条件的经验（自己能根据情境识别问题），和关于用原有的创造性学习，扩展无限制条件的经验； (3)我们要学生熟悉数学的基本概念 (4)我们要学生在他们自己的脑子里，树立起合适的心理形象允许他们完成包括数学概念的心理操作； (5)我们要学生有节制地掌握数学的基本技巧； (6)我们要学生知道数学的基本事实； (7)我们要学生具有把数学各部分互相联系起来的一定能力,38,五、发现课的效果,(8)我们要学生具有这样的简单技能，即把数学和数学在物理学和在其它方面的应用相互联系起来； (9)我们要学生在数学历史方面有真正的感受； (10)我们要学生知道数学确实是可发现的； (11)我们要每个学生，对于他自己在数学发现中的能力有一个实际的评价，并把它作为了解自己学习的一个部分； (12)我们要学生来适当地评价“教育的直观”作用； (13)我们要学生适当地评价抽象的合理分析； (14)我们要学生尽可能地知道什么时候该坚持，什么时候该灵活；（学会决策） (15)我们要学生感觉到数学是一种乐趣或者刺激，或者是值得花时间的学科。,39,六、一堂发现课的课时计划,许多现代算术和代数课本，不仅介绍算术和代数技能，而且也研究算术和其它数学体系的结构。当我们向学生说明了数学体系的原理和运算以后，许多数学体系的结构性质就能够由学生来发现。下列一堂课时计划，概述了模数为12的算术的一堂发现课的活动，有时候我们称它为时钟算术。虽然以下活动表上的问题11和12，的确涉及到演绎方法，但这堂课的大部分活动需要归纳法。,40,时钟算术的数学性质的发现,1.数学内容：这堂课是适合于许多八年级算术课和大部分代数I的课。这个课题的名称是时钟算术的性质的发现。这堂课的数学对象是模数为12的算术体系的原理。这个课题应当在学生学完数的基数以后向他们介绍。他们也应当知道和理解下列概念：数学运算、交换律、结合律、分配律、加法和乘法的恒等元素、逆元素和封闭。这个课题可以在一个数学群的概念以前研究。,41,时钟算术的数学性质的发现,2.学习目的：认知目的就是让学生懂得和理解模数为12的算术技能；学会分析和综合模12的算术加法和乘法的事实，而且会发现这个算术体系的一般原理。情感目的就是学生愿意参加到这堂发现课中来，而且通过参加感到满足。这些目的应当在这堂课的开始和全班一起讨论。,42,时钟算术的数学性质的发现,3.学习材料：除了铅笔、纸和小黑板外，这堂课所需要的唯一材料，就是一张大的画，或者包含图5-5(见下页)所表示的“时钟”图解的一块玻璃板和“活动表”，它包括在教和学方法的课题中。,43,44,时钟算术的数学性质的发现,4.课前评价方法：进行简短的全班讨论，以便复习一些概念：数学运算、交换律、结合律、分配律、加法恒等元素和乘法恒等元素、逆元素和封闭。随着这个讨论，进行简短的口头或者书面小测验，要求学生给每个概念下定义，并且举出一个例子。,45,时钟算术的数学性质的发现,5.教和学的方法。开始讨论这堂时钟算术课时，让全班学生看图55中的“钟”。说明标准时钟上的12，已由你的钟上的0所代替，使时钟算术包含零这个加法逆元。,46,时钟算术的数学性质的发现,确实让学生知道如何把这个时钟”上的模12的数相加和相乘，进行简单提问和回答，并且讨论这样一些问题，例如：(1)3+9是多少? (2)9十7是多少? (3)48是多少? (4)119是多少? 要肯定每个学生都理解时钟算术的规则。也就是说，用于这个系统的数只能是0，1，11，而且当你数过11，你就数0，l，等等。正象一个时钟一样，在这个时钟算术体系中没有14或27。,47,时钟算术的数学性质的发现,把全班分成三、四个学生一组，然后把下面的一张活动表发给每一组的每个学生。告诉每个人按小组活动，完成这个表上的活动和问题，说明你希望让他们自己活动而没有你的帮助，但是当他们一旦遇到小组不能解决的问题时，你再给以帮助。,48,活 动 表,（1）对于下列“时钟”算术的加法和乘法表进行填空,49,50,51,(2)从这两个表中你能看出有什么型式吗? (3)“时钟”算术数的集对加法是否封闭?对乘法是否封闭?为什？ (4)重新检查你的表，肯定你确实没出任何差错。 (5)时钟算术，有没有一个加法恒等元素?有没有乘法恒等元素?如果有的话，它们都是什么? (6)加法是可交换的吗?乘法是可交换的吗？你怎么知道?,52,(7)加法是可结合的吗?乘法是可结合的吗?为什么? (8)加法对乘法是不是可分配的?乘法对加法是不是可分配的?对你的答案给出理由。 (9)每个“时钟”数是不是有一个加法逆元素?列出一个表包含每个“时钟”数，使它和它：的加法逆元素配成对。 (10)每个“时钟”数是不是有一个乘法的逆元素?列出一个表，包含每个“时钟”数，使它和它的乘法逆元素配成对。,53,(11)你能对“时钟”算术给出减法定义吗?如果你认为你能够下这个定义，造出一个减法表。记住，在“时钟”上并没有负数。 (12)你能对“时钟”算术给出除法定义吗?如果你的回答是能够的话，列出一个“时钟”算术除法表。记住，在“时钟”上并没有分数。 (13)你也许还要考虑减法和除法的性质，例如封闭性、交换性、结合性，一种运算对另一种运算的分配、恒等和逆元素。 (14)你对时钟算术能有什么发现吗?,54,6.课后评价：为家庭作业，要求学生考虑模数为3的算术和模数为4的算术，对于这两个算术体系，通过回答活动表上的问题来完成。在模数为3的算术里，每个数的确有一个乘法的逆元素；然而对于模4的算术情况就不是这样(一般地说，当模数是一个素数P时，模数为P的算术体系就有一个数学的域的一切性质。当模数是一个合数C时，模数C的一个算术体系，并不是一个域，因为有一些元素并不具有乘法的逆元素)。你可以通过评价每组学生对活动表上的问题的回答和通过评定他们的作业来评价学生的学习。,55,评价教学的这种方法是否成功，明显地是和学生是否成功地完成活动表上的内容以及完成家庭作业相联系的。另外，对于这堂课的程序性的评价就是要在一节课内完成它，也许时间过长，而且在活动表上的问题(11)到(14)，对于学习缓慢的学生和数学基础差的学生来说，也许太难。,56,总结,这堂发现课是一堂有指导的发现课，而且它有点以教师为中心，因为学生自己不提出问题。教师所准备好的活动表，包含需要回答的问题，它也详细说明了所要考虑的问题的顺序。虽然各个组可以随便以任何次序回答问题，但是大部分人的确会按表上所列的次序来回答问题。每个组可以随便确定自己的程序去找出每个问题的解答。 可以通过发现去学习的其它一些课题，有帕斯卡三角形、欧几里得算法、用弃9检验算法、尼姆(Nim)游戏、基数不同于10的算术体系。,57,课外活动中的发现法教学,在课外活动中，学生都有着强烈的求知欲、发现欲和创造欲。为了满足学生发明创造的欲望，教师应有针对性地选择一些富有思考性、探索性的课题，引导学生在发现中学习。 下面是选自国外课本中的一个专题研究材料。这个材料内容丰富，方法多变，对于如何在课外活动中激发学生学习兴趣、逐步引导学生自己发现数学结论、培养他们进行数学研究的初步能力颇有启发。,58,专题研究：斐波那契数列,1家兔的繁殖：设想一对家兔出生六个月后，开始生育，每三个月生一对。从开