方阵的特征值与特征向量.ppt

2009.7.22,4-1-1,第四章 矩阵的特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量 第二节 相似矩阵与对角化 第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量,2009.7.22,4-1-2,第一节 方阵的特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的性质,2009.7.22,4-1-3,一、特征值与特征向量的概念,定义,成立,(1),设A为n阶矩阵,如果存在数和n维非,零向量x,使 Ax= x,那么称数为矩阵A的特征值,而称向量x为,矩阵A属于特征值的特征向量.,2009.7.22,4-1-4,说明,1. 特征向量x0,特征向量是方阵A属于特征值,2. n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组,(A-E)x=0有非零解的值,即满足方程| A-E|=0,的值均是矩阵A的特征值.,的向量.,2009.7.22,4-1-5,的特征方程.,是以为未知数 的一元n次方程, 称| A-E|=0为A,记f()=| A-E|,它是 的n次多项式, 称其为方阵,A特征多项式,2009.7.22,4-1-6,4. n阶方阵 A=(aij)的特征值1, 2, n又称矩阵A,的特征根.若0是特征方程的k重特征根, 则称,方阵A的k重特征根,特征值与特征向量的求法,1.求方阵 A=(aij)的特征方程| A-E|=0的值1, 2,n,2.对于方阵 A=(aij)的特征值0,求属于该特征值,的特征向量,2009.7.22,4-1-7,例1,解,A的特征多项式,得A的特征值 1=-2, 2=4,当1=-2时,有(A+2E)x=0,即,求A的特征值与特征向量.其中,2009.7.22,4-1-8,解之得, 5x1=-x2.,矩阵A属于1=-2的全部特征向量 k1(1,-5)T,于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T,当2=4时,有(A-4E)x=0,即,解之得, x1=x2.,矩阵A属于2=4的全部特征向量 k2(1,1)T,于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T,2009.7.22,4-1-9,例2,解,A的特征多项式,得A的特征值 1=2, 2= 3=1,当1=2时,有(A-2E)x=0,求A的特征值与特征向量.其中,2009.7.22,4-1-10,解之得, x1=x2=0, x3为任意实数,矩阵A属于1=2的全部特征向量,于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)T,k1 p1 = k1(0,0,1)T k1 0为任意实数,2009.7.22,4-1-11,解之得, x1=-x3, x2=-2x3,矩阵A属于2= 3=1的全部特征向量,于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T,当2= 3=1时,有(A-E)x=0,k2 p2 = k2(-1,-2,1)T k20为任意实数,2009.7.22,4-1-12,例3,求A的特征值与特征向量,解,A的特征多项式,得A的特征值 1=-1, 2= 3=2,当1=-1时,有(A+E)x=0,2009.7.22,4-1-13,解之得, x2=0, x1=x3为任意实数,矩阵A属于1=-1的全部特征向量,于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)T,k1 p1 = k1(1,0,1)T k1 0为任意实数,2009.7.22,4-1-14,解之得 -4x1+ x2+x3=0,矩阵A属于2= 3=2的全部特征向量,于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T, p3=(1,0,4)T,当2= 3=2时,有(A-2E)x=0,k2 p2+ k3 p3 = k2(0,1,-1)T+ k3(1,0,4)T,k2 k3 0为任意实数,2009.7.22,4-1-15,例4,n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一,个特征值等于0.,证明,必要性,若A为奇异矩阵,则|A|=0,于是有,|0I-A|=(-1)n |A|=0,故0是A的一个特征值.,若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x,充分性,由定义知 Ax=0x=0 ,因特征向量x0,要使齐次线性方程组Ax=0 有,非零解,则需要|A|=0,即A为奇异.,2009.7.22,4-1-16,例5,证明 若是矩阵A的特征值,x是A的属于,证明,再继续施行上述步骤m-2次,就得,的特征向量,则有,(1)m 是Am的特征值(m是任意常数),故m 是Am的特征值,且x是Am 属于m的特征,向量.,(2)当|A|0时,则-1 是A-1的特征值.,2009.7.22,4-1-17,故-1 是A-1的特征值,且x是A-1 属于-1的特征向量.,(2)若|A|0时,则A可逆,于是知A的特征值0.,2009.7.22,4-1-18,二、特征值和特征向量的性质,性质1 设0 是A的特征值,则k0 是kA的特征值,证明,若0 是A的特征值, 则x0,于是k0 是kA的特征值.,2009.7.22,4-1-19,性质2 设0 是A的特征值,且|A|0,则-1 是A-1的,证明,见例5,特征值,2009.7.22,4-1-20,性质3 n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值.,证明,故A与AT有相同的特征值.,2009.7.22,4-1-21,性质4 n阶方阵A=(aij), 如果(1),有一个成立,则A的所,有特征值k (k=1,2, ,n)的模|k |1.,证明,只需证A的任意特征值的模| |1即可.,设A的属于的特征向量为x,于是有,2009.7.22,4-1-22,既有 | |1,再由的任意性知,类似证明(2).,2009.7.22,4-1-23,性质5 设1,2, ,m为方阵A的m个特征值,量,如果1,2, ,m各不相同,则x 1, x 2, , x m,x1, x2, , xm 分别为方阵A的与之相应的特征向,证明,利用数学归纳法证明,当k=1时,结论显然成立.,假设k=m-1时,结论成立,那么当k=m时,有,线性无关.,2009.7.22,4-1-24,用A左乘(1)有,用m左乘(1)有,(3)-(2)有,因1,2, ,m-1各不相同,且x1, x2, ,x m-1线性,则k 1=k 2= = k m-1=0 , 代入(1)式得 k m=0 .,于是x 1, x 2, x m线性无关.,无关,2009.7.22,4-1-25,性质6 设n阶方阵A的全部特征值 1,2, ,n,则有 (1) 1+2+ +n=a11+a22+ann,证明,略.,即A的所有特征值的和等于A的主对角线元素之和;,(2) 12 n=|A|,A的所有特征值的积等于A的行列式值.,2009.7.22,4-1-26,例6,2= 2, 求x值和A的另一特征值,解,利用上述性质6,知,而|A|=x+2,于是解得 3=3,x=4,已知A有特征值 1=1,1+2+ 3=1+x+1,12 3=|A|,2009.7.22,4-1-27,注意,1.属于不