近代概率论题库计算证明题部分.doc

近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好封信，又写好个信封，然后在黑暗中随机地把封信放入个信封中（一个信封中只能放一封信），试求至少有一封信放对的概率。（10分）一、解：若以记第封信与信封符合，则所求的事件为：。 不难求得： ，故 二、从数字中（可重复地）任取次，试求所取的个数的乘积能被10整除的概率。（10分）二、解：个数的乘积要能被10整除，则这个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5。因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件个。设=所取的个数的乘积能被10整除，=所取的个数中至少有一个是偶数， =所取的个数中至少有一个为5，则为所取的个数全为奇数，故所含基本事件数为；为所取的个数无5，故所含基本事件数为；为所取的个数全为奇数且不含5，故所含基本事件数为，且 所以由计算公式得：三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为1，求经过次移动后回到出发点的概率。（10分）三、解：若要在次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为。故所求的概率为： 四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布。而每个放射出的粒子被记录下来的概率均为。如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录下的粒子数的分布。（10分）四、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数服从参数为泊松分布，求成功次数和失败次数的概率分布，并证明与相互独立。（10分）五、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：同理 进一步地，六、若是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数，而及相当于把按大小顺序重新排列为的末项和首项，求及的分布函数，并求的联合分布函数。（10分）六、解：首先求的分布函数：再求的分布函数：因为 所以 最后求的联合分布函数：记 若，则若，则七、设与相互独立，且均服从上的均匀分布，证明：与相互独立且均服从标准正态分布。 （10分）七、证明：因为 则 因此 故雅可比行列式为：因为与相互独立，故的密度函数为：因为的密度函数为：因而，与的边际密度函数分别为：并且，因而与相互独立且均服从标准正态分布。八、（10分）已知随机向量服从多项分布，即 这里且仅当时上式才成立，否则为0. 求随机向量的各个分量之间的协方差和相关系数。八、解：显然，因此 注意到因此 由于 因而有 相关系数为： 。九、袋中有张卡片，各记以数字，不放回地从中抽出张，求其和的数学期望和方差。（10分）九、解：取一张时，其数字的均值及方差分别为 及 若以记张卡片的数字之和，以记第次抽得的卡片上的数字，则 由于抽签与顺序无关，因此故 所以 在上式中令，因为是一个常数，因此，于是因而 于是 。十、掷5颗骰子，求所得总和为15的概率。（提示：利用母函数）（10分）十1、解：以表示第颗骰子掷出的点数，则总和为： 因服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为又因为相互独立，故其和的母函数为： 。于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。由于 因此。十2、（10分）掷5颗骰子，求所得总和为16的概率。（提示：利用母函数）解：以表示第颗骰子掷出的点数，则总和为： 。2分 因服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为 。1分又因为相互独立，故其和的母函数为： 。 。2分于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。 。1分由于 。2分 。1分 因此 。 。1分十一、求正态分布的特征函数。十一、解：先讨论的场合：由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得 因此 由于，故，因此对于的场合，因为，故由特征函数的性质可知其特征函数为： 十二、（10分）设是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且具有有限的数学期望，证明：对任意的，有十二、证明：由于具有相同分布，故有相同的特征函数，设为，因为数学期望存在，故可展开成： 。2分而的特征函数为： 。2分 对固定的， 。2分由于极限函数是连续函数，它是退化分布所对应的特征函数， 根据逆极限定理知：的分布函数收敛于。 。2分 最后根据以概率收敛和依分布收敛的关系可知： 以概率收敛于常数，从而结论成立。 。2分十三、设是独立同分布的随机变量序列，且，令证明：若，则 （10分）十三、证明：记的特征函数为，则的特征函数为 。2分 由于故 。2分 因此 。2分 所以 。2分 由于是连续函数，它对应的分布函数为，因此由逆极限定理知 因此结论成立。 。2分十四、若为可测空间上满足的非负集合函数，证明：它具有可列可加性的充要条件为：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的。十四、证明：即要证明 其中互不相容， 且 。2分取由立刻得到式。 。1分下面我们证明式，事实上， 。1分 。1分 。1分 。1分故 。1分 。2分十五、设一个家庭中有个小孩的概率为：这里，若认为生一个小孩为男孩或女孩是等可能的，求一个家庭中有个男孩的概率。十五、解：用表示“一个家庭有个小孩” ，用表示“一个家庭有个男孩” ，则根据题意，显然有 且对任意的有；对任意的有。 。2分根据全概率公式，对任意的，我们有 （） 。2分 。2分 。2分 。 。2分注：在求（）式和的时候，还有其它办法，比如：设， 则 ， 故 。十六、在伯努利实验中，事件出现的概率为，分别求在次独立实验中事件出现奇数次和偶数次的概率。十六、解：设，则 ； 。3分 。3分 故出现偶数次的概率为上面两式相加再除以2，即为：。 。2分 而出现奇数次的概率为上面两式相减再除以2，即为：。 。2分十七、用表示某交换装置在时间段内的电话呼叫数，假定它是参数为的泊松过程。用表示它的第个呼叫发生的时刻，证明它的密度函数为：即服从参数为的埃尔兰分布。并用上式推证泊松分布的部分和的下面的公式：十七、证明：显然，。 。2分 若用记的分布函数，则， 。2分 因此， 。2分 。 。2分故对任意的，我们有 。1分 最后在上式的两边令，并作变量代换即得结论。 。1分十八、若，而的密度函数为，求的分布函数和密度函数；进一步地，如果与相互独立且分别服从分布，求的密度函数。十八、解：的分布函数为 。2分因 。2分因此，的密度函数为： 。3分进一步地，如果与独立且分别服从分布，则的密度函数为， 。1分故此时的密度函数为 。2分十九、若与是相互独立的随机变量，均服从，化为极坐标后，及取值于，试求的联合密度函数，并证明它们是相互独立的。十九、解：因为，故 。 。2分 因此 。2分因为的密度函数为 。2分故的密度函数为 。2分因而，与的边际密度函数分别为并且于是与相互独立。 。2分二十、设随机变量取值于，若只与长度有关（对一切），证明：服从的均匀分布。二十、证明：设 。1分根据题意：对任意的，有， 。2分故对任意的，有 。2分考虑到为的增函数，这样类似于教材P98页引理.4.1的证明，我们可以证得：，其中为一常数 。4分又因为，故因此，即服从的均匀分布。1分二十一、（共15分）设与相互独立且服从同一几何分布，令，求 （1）的联合分布律； （2）的分布； （3）关于的条件概率分布。二十一、解：（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。（a） ； 。2分(b)； 。2分(c) 。2分(2)因为，所以 。2分 。2分（3） 。2分 。3分二十二、设为单调非降函数，且。对随机变量，若，证明：对任意的，有二十二、解：设的分布函数为，根据数学期望的定义，注意到的单调非降性，可知：对任意的，有 。2分 。2分 。2分 。2分 最后由可知结论成立。 。2分二十三、若相互独立，均服从，证明：二十三、解：的联合密度为， 。2分 。2分 。2分（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号） 。2分 . 。2分另证：设 ，则 。而和的分布函数均为：，又因为相互独立，故的分布函数应为：，于是。二十四、若都是只能取两个值的随机变量，证明如果它们不相关，则独立。二十四、解：不妨设的分布律及联合分布律分别为： ， ； 。 。3分那么 ； 。2分 。2分如果不相关，则有，即 。 。2分由上式可解得：于是与相互独立。 。1分二十五、求参数为的泊松分布的特征函数，并特征函数证明泊松分布关于参数的再生性。二十五、解：根据特征函数的定义，参数为的泊松分布的特征函数为： 。2分 。 。2分 进一步地，如果服从，服从，而且相互独立，则的特征函数为： 。2分。 。2分于是服从，故 。 。2分即泊松分布关于参数具有再生性。 二十六、(10分) 若的密度函数为,而,这里,求的密度函数.二十六、解: 因为, , 。2分故 , . 。2分而. 。3分因此的密度函数为. 。3分二十七、（10分）在圆周上任取三点试求这三点构成的三角形为锐角三角形的概率。解 分别以表示的弧度，于是样本点是三维空间中的点，而样本空间为由任意性可知样本点在中均匀分布。我们关心的事件为 故所求的概率为二十八、（10分）个男孩和个女孩随机的沿着圆桌坐下，试求任意两个女孩都不相邻的概率。解：法一：我们不对椅子编号，即只要各个人相互之间的位置相同我们就认为是同一种排法。个人随机的沿着圆桌坐下，共有种不同的坐法。要使任意两个女孩都不相邻，可以先排男孩，再在男孩的空隙中放女孩。这样，首先让个男孩沿沿着圆桌随机的坐下，共有种不同的坐法，男孩坐好之后，再在男孩的空隙中放入个女孩，共有种放法，因此，有利事件的个数应为：，于是。下面的两种办法都是先对椅子进行编号。法二：看1号位为“男”还是“女”。 。法三：先在直线上排，再减去多出的。 。二十九、(10分) 甲、已、丙三人进行某项比赛，若三人胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者若甲胜了第一、三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛的优胜者的概率是多少？解：丙要成为整场比赛的优胜者，在后面的比赛中只有下面的四种可能：局数 4 5 6 71 丙胜 丙胜 丙胜 2 乙胜 丙胜 丙胜 丙胜3 丙胜 乙胜 丙胜 丙胜4 丙胜 丙胜 乙胜 丙胜 因而，所求的概率为：三十、(10分) 证明：，其中为任意固定的实数；进一步据此证明，若随机变量的分布函数为连续函数，则，有。证明：令，则。一方面，必有，因此，有，即，于是，故有.另一方面，必有，那么一定存在一个，有，这样，因而。这就是说：，必有，故。综上，我们有：。进一步地，设随机变量的分布函数为连续函数，则，有：，而根据概率的可列可加性，我们有 因为为连续函数，所以 。 证毕。三十一、（10分） 设为取值于自然数的随机变量，证明下面的两式等价。（1）；（2）。并证明，如果服从几何分布，则一定满足以上两式。证明：进一步，如果服从几何分布，则，故于是对任意的，我们有 证毕。三十二、（10分）将封不同的信，随机放入个写好地址的信封，用表示装对信件的个数，求。解： 则。因为 ，所以。因此，三十三、（10分）已知：，对独立观察4次，用表示的观察值大于的次数，求解：有题意克制：，其中， 于是 三十四、（10分）设服从中的均匀分布，。试判断与的独立性与相关性。解：因而，与的相关系数为于是，与不