天津理工大学概率论与数理统计考题库.pdf

3、设X的密度函数为 = 其它0 102 )( xx xf，求)(XE、)(XD 解: = + 1 0 2 3 2 d2d)()(xxxxxfXE = + 1 0 322 2 1 d2d)()(xxxxfxXE 故 18 1 ) 3 2 ( 2 1 )()()( 222 =XEXEXD 5、设连续型随机变量X的分布函数 + = 其他 ， n XXX, 21 是来自X的样本， （1） 求未知参数的矩估计； （2）求的极大似然估计. 解： （1）由于 1 ()E X = ，令 11 X X = ，故的矩估计为 1 X = （2）似然函数 1 12 ( ,) n i i x n n L x xxe = = 1 1 1 lnln ln 0 n i i n i n i i i Lnx dLnn x d x = = = = = 故的极大似然估计仍为 1 X 。 3、设总体 () 2 0,XN ， 12 , n XXX 为取自 X 的一组简单随机样本，求 2 的极大似 然估计； 解(1)似然函数 2 2 2 1 1 2 i x n i Le = = () 2 2 12 2 2 2 n i i x n e = = 于是 2 2 2 1 lnln2ln 222 n i i xnn L = = 2 224 1 ln1 22 n i i dLn x d = = + ， 令 2 ln 0 dL d = ，得 2 的极大似然估计： 22 1 1 n i i X n = = . 4、设总体X服从泊松分布 ( )P , 12 , n XXX 为取自 X 的一组简单随机样本, （1）求 未知参数的矩估计； （2）求的极大似然估计. 解： （1）令 ()E XXX= ，此为的矩估计。 （2）似然函数 1 12 1 ( ,) ! n i i x n n n i i e L x xx x = = = 11 11 lnlnln! ln 0 nn ii ii nn ii ii Lxnx xx dL nx dn = = = = 故的极大似然估计仍为X。 2、 设 n XXX, 21 是取自总体), 0( 2 N的样本，则可以作为 2 的无偏估计量是(A). A、 = n i i X n 1 2 1 B、 = n i i X n 1 2 1 1 C、 = n i i X n 1 1 D、 = n i i X n 1 1 1 1、设总体),( 2 NX， 2 未知，设总体均值的置信度1的置信区间长度l，那 么l与a的关系为(A). A、a增大，l减小B、a增大，l增大 C、a增大，l不变 D、a与l关系不确定 2、设总体),( 2 NX，且 2 已知，现在以置信度1估计总体均值，下列做法中 一定能使估计更精确的是(C). A、提高置信度1，增加样本容量B、提高置信度1 ，减少样本容量 C、降低置信度1，增加样本容量D、降低置信度1，减少样本容量 1、设总体)9 . 0 ,( 2 NX，当样本容量9=n时，测得5=X，求未知参数的置信度为 0.95 的置信区间. 解：的置信区间为 22 (,)XZXZ nn + 05. 0=9=n9 . 0=5X= 0.05 2 1.96Z= 的置信区间为)588. 5,412. 4(。 3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),( 2 NX，现 从某批产品里随机抽取 6 件，测得它们的直径(单位：mm)为： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度95. 01=(即05. 0=) (1)若06. 0 2 =，求的置信区间(2)若 2 未知，求的置信区间 (3)求方差 2 ，均方差的置信区间. 解 ： (1) 2 已 知 ， 则的 置 信 区 间 为 22 (,)XZXZ nn +， 2 5,0.05,1.96nZ= 代入则得的置信区间)15.15,75.14( (2) 2 未知，则的置信区间为 22 (,) SS XtXt nn +，05. 0, 5=n 查表得 0.05 2 2.5706t=，代入得的置信区间为)19.15,71.14( (3) 2 2 2 (1) (1) nS n 2 的置信区间 22 22 1 22 (1)(1) (,) (1)(1) nS