《D222函数的极限》PPT课件.ppt

,第二章,第二节,一、复合函数的极限运算法则,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数极限的性质,二、两个重要极限,一、 复合函数的极限运算法则,定理1. 设,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 两个结论：,1. 函数极限与数列极限的关系,定理3.,有定义,为简明起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,有定义,且,用反证法证明.,有,证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理3 知,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数极限存在的两边夹准则,定理4.,且,( 数列的两边夹准则可证 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,圆扇形AOB的面积,三、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,见补充证明,注 目录 上页 下页 返回 结束,补充证明,例5. 求,解:,例6. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解: 原式 =,例8. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,提示 ：可利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例10. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 复合函数极限运算法则. 注意使用的条件！,的不同数列,3. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的两边夹准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的两边夹准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,填空题 ( 14 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,机动 目录