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,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.7,常系数齐次线性微分方程的解法,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第八章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.7.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用上节定理7 , 得原方程的两个线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,特征方程:,实根,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的一般步骤：,第一步, 写出方程的特征方程；,第二步, 求出特征根；,第三步, 根据特征根的形式按上述三种情况写出其通解.,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求微分方程,的通解。,解 其特征方程为,特征根为一对共轭复根,所以通解为,例4. 求以,为一个特解的二阶常系数齐次,线性微分方程。,解 有特解形式知,是特征根，,由韦达定理可得特,征方程为,故所求微分方程为,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,8.7.2 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：,例5.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例6.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P340 1 (1) , (3
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