《D26中值定理》PPT课件.ppt

,一、中值定理,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、洛必达法则,中值定理与洛必达法则,第二章,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、罗尔( Rolle )定理,注意:,定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,A,B,C,定理:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论：,例2. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,三、洛必达法则,1、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1.,定理 1 中,换为,之一,注 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解:,原式,例6. 求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,例7.,说明:,1) 例5 , 例6表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例10. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,例. 求,解: 原式,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,2. 微分中值定理的应用,(3) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(1) 验证有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,2.求下列极限,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又