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,一、 函数连续性的概念,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数,第一章,二、 间断点及其分类,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的概念,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设函数,在,的某邻域内有定义 ,且,则称函数,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用极限定义，我们可证明,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,及,均存在 ,1.若,称,2. 若,称,（2）第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,例如：其中有一个为振荡,例如：其中有一个为,为可去间断点 .,为第一类间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三种间断点分类,如果,称,为第二类间断点.,3.,（1）可去间断点、第一类间断点：,为第二类间断点 .,为第二类间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其第一类间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,可去间断点,第一类间断点,左右极限都存在,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,作业 P62 1(2);
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