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,第十章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求偏导,同样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页
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