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文档简介

二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,一、函数的连续性,定义 设变量 u 从它的初值 u1 改变到终值 u2，终值与初值之差 u2-u1称为变量 u 的增量，记作u=u2-u1。,注意： 增量可以是正的，也可以是负的。,当自变量 x 从 x0 改变到 x0+x 时，函数 y=f(x) 相应的增量为 y=f(x0+x)-f(x0)。,1. 变量的改变量：,2、 函数连续性的定义,等价定义:,在,的某邻域内有,则称函数,设函数,且,定义 ,函数,在点,(1),在点,(2) 极限,(3),连续的含义:,存在 ;,有定义 ,即,存在 ;,连续定义的语言表达,3. 左连续与右连续,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该,区间上连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,在闭区间,上的连续函数的集合记作,4、连续函数,例如,在,上连续 .,有理整函数,又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,1. 定义 设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列,这样的 点,情形之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,答案: x = 1
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