(播放版)第3章电阻电路的一般分析.ppt

2019年6月7日星期五,1,第三章 电阻电路的一般分析,学习要点 1.图论的初步知识 2.线性电阻电路方程的建立方法 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 结点电压法,2019年6月7日星期五,2, 重 点,用观察法，熟练应用支路电流法，回路电流法，结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程，回路电流方程，结点电压方程，并求解。,1. 独立回路的确定； 2. 正确理解每一种方法的依据； 3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写； 4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写。, 难 点,2019年6月7日星期五,3, 开篇的话,利用等效变换逐步化简法对电阻电路进行分析，要改变电路结构，适用于一定结构形式的电路。本章介绍的一些方法，一般不要求改变电路的结构。,线性电路的一般分析方法具有：,普遍性：对任何线性电路都适用。,系统性：计算方法有规律可循。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。 根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路(含网孔)电流法和结点电压法。,方法的基础：简单地说，是两类约束。,2019年6月7日星期五,4,31 电路的图,城中居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：,引言：哥尼斯堡七桥难题,从前有一座城，,城里有一条河，,河上有七座桥，,连接了河中的两个岛。,一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？,大家都试图找出问题的答案，但谁也解决不了,这就是哥尼斯堡七桥难题，一个著名的图论问题。,2019年6月7日星期五,5,欧拉是这样看待这个难题的：,把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，,经研究，欧拉发现了一笔画的规律：,能一笔画成的图形必须是连通图。,连通图,但不是所有的连通图都可以一笔画成，还要看图的奇、偶点数目。,与奇数 (偶数 )条边相连的点叫做奇(偶 )点。,偶点,奇点,偶点,奇点,凡是由偶数点组成的连通图，一定能一笔画成。画时可以把任一偶点作为起点，最后必能以该点作为终点画完此图。,于是“七桥问题”就等价于一笔画问题了。,2019年6月7日星期五,6,凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画图时必须把一个奇点作为起点，另一个奇点为终点。,其他情况的图都不能一笔画出。,2019年6月7日星期五,7,论著依据几何位置的解题方法，欧拉， 1736年。,根据欧拉的研究规律，可否解决哥尼斯堡七桥难题？,奥运会的五环标志能否一笔画出？,2019年6月7日星期五,8,1. 网络图论,图论是拓扑学(Topology)的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出 (最早的记载是1736年)。 1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析与综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。,2019年6月7日星期五,9,2. 电路的图,n = 5 b = 8,抛开元件性质,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路。,n = 4 b = 6,2019年6月7日星期五,10,图(Graph)的定义,G = 给定联接关系的支路，结点,图中的结点和支路各自是一个整体。,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。,如果把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,孤立结点,2019年6月7日星期五,11,有向图：支路均赋以方向的图。,若对图的每一条支路也指定一个方向，此方向即该支路的电流和电压的参考方向。,结论,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,与电路中由具体元件构成的支路(是实体)以及结点(由支路汇集而形成)有些差别。,2019年6月7日星期五,12,3-2 KCL和KVL的独立方程数, + + + = 0，不是相互独立的。,1. KCL的独立方程数,i1,+ i4,+ i6,= 0,各电流都出现两次,一正一负, 结论：n个结点的电路，独立的KCL方程为n-1个。,- i1,+ i2,+ i3,= 0,- i2,- i5,- i6,= 0,- i3,- i4,+ i5,= 0,对各结点列 KCL方程：,求解电路问题时，只需选取 n-1个结点来列出 KCL方程即可。与独立方程对应的结点叫独立结点。,2019年6月7日星期五,13,2. KVL的独立方程数,与KVL的独立方程对应的回路称独立回路。,要列出KVL的独立方程组，首先要找出与之对应的独立回路组。 有时，寻找独立回路组不是一件容易的事。利用“树”的概念会有助于寻找一个图的独立回路组。 由于回路和独立回路的概念与支路的方向无关，所以用无向图介绍如下。,2019年6月7日星期五,14,(1)连通图,从图G 的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。,连通图,图G 的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，,路径,非连通图至少存在两个分离部分。,2019年6月7日星期五,15,(2)子图,若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。,树(Tree),T是连通图的一个子图且满足下列条件：,a. 连通；,b. 包含所有结点；,c. 不含闭合路径。,是树,不是树,树支：构成树的各支路；,连支：除树支以外的支路(属于G而不属于T)。,2019年6月7日星期五,16,a. 对应一个图有很多树。,b. 树支的数目是一定的：, 明确,连支数 bl,bt = n -1,= b - bt,= b - (n -1),2019年6月7日星期五,17,含闭合路径,不连通,未包含所有结点,不是树的子图,2019年6月7日星期五,18,L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：a.连通；b. 每个结点关联2条支路。,回路(Loop),b. 基本回路的数目是一定的，为连支数；,a. 对应一个图有很多的回路；,c. 对于平面电路，网孔数等于基本回路数。,不是回路,回路, 明确,2019年6月7日星期五,19,基本回路,连通图的一个树包含全部结点又不形成回路。可见对任意一个树，加入一个连支便形成一个回路。, 基本回路具有独占一条连支的特点。也称单连支回路。,结点、支路和基本回路的关系为,b = 树支树 + 连支数,= (n - 1) + l,2019年6月7日星期五,20,独立回路数 l = b - (n - 1) 。,选不同的树，获得的基本回路组也不同。,若一个连通图G有n 个结点，b条支路,则G的树支数为 (n - 1)，,连支数为b - (n -1),注意：网孔为基本回路。,2019年6月7日星期五,21,(3)KVL的独立方程组,回路：,u1,+ u3,- u4,= 0,回路：,回路：,对网孔列KVL方程,u2,- u3,- u5,= 0,u4,+ u5,- u6,= 0,通过对以上三个网孔方程进行加、减运算，可以得到其他回路的KVL方程。, 表明,+,= u1 + u2 - u4 - u5,= 0, 独立方程数 = 基本回路数,2019年6月7日星期五,22,3-3 支路电流法,对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。,从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写KCL方程； 选择基本回路列写 b-(n-1) 个KVL方程。,1. 支路电流法,2. 独立方程的列写,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,独立的KCL和KVL方程数为：,b - (n-1) + n-1 = b,2019年6月7日星期五,23,例：,图中电路有6个支路电流，需列写6个方程。,i1,+ i2,- i6,= 0,- i2,+ i3,+ i4,= 0,- i4,- i5,+ i6,= 0,1,2,3,KCL方程：,取网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程：,回路1,回路2,回路3,R2i2,+ R3i3,- R1i1,= 0,R4i4,- R5i5,- R3i3,= 0,R1i1,+ R5i5,+ R6i6,= us,解之可得i1 i6,2019年6月7日星期五,24,小结,(1)支路电流法的一般步骤：,标定各支路电流(电压)的参考方向；,选定(n - 1)个结点，列写其KCL方程；,选定b - (n - 1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和支路方程列写：,求解上述方程，得到b个支路电流；,进一步计算支路电压和进行其它分析。,Rkik = usk,(2)支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,2019年6月7日星期五,25,例1：求各支路电流及各电压源发出的功率。,解：,列n-1=1个KCL方程,结点a：,列b-(n-1)=2个KVL方程 U = US,11I2 + 7I3 = 6,7I1 - 11I2,- I1 - I2 + I3 = 0,= 70 - 6,标定各支路电流的参考方向；(已标出),解上述方程得,= 64,求各电压源发出的功率,I1 = 6A，,I2 = -2A,I3 = I1 + I2,= 6 - 2 = 4A,P70 = 70 6 = 420W,P6 = 6 (-2) = -12W,2019年6月7日星期五,26,例2：列写支路电流方程 (电路中含有理想电流源),增补方程：,设电流源电压为U！,解法1：,n-1=1个KCL方程,结点a：,b-(n-1)=2个KVL方程,11I2 + 7I3 = U,7I1 - 11I2,- I1 - I2 + I3 = 0,= 70 - U, 含无伴电流源的处理方法：,虚设一个变量，同时附加一个方程。,I2 = 6A,电流源所在支路电流已确定。,2019年6月7日星期五,27,例2：列写支路电流方程 (电路中含有理想电流源),1,解法2：,由于 I2已知，实际只有两个未知量，故列写两个方程即可：, 避开电流源支路取回路：,结点a：,- I1 - 6 + I3 = 0,- I1 + I3 = 6,7I1 + 7I3,= 70,2019年6月7日星期五,28,例3：列写支路电流方程(电路中含有受控源),增补方程：,对含有受控源的电路，方程分两步列写：,先将受控源看作独立源列方程；, 注意,解：,结点a,11I2 + 7I3 = 5U,7I1 - 11I2,- I1 - I2 + I3 = 0,= 70 - 5U,将控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，消去中间变量。,U = 7I3,2019年6月7日星期五,29,3-4 网孔电流法,1. 关于网孔电流法,以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。,基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示，来求得电路的解。,2019年6月7日星期五,30,列写的方程,独立回路数为2。选网孔为两个独立回路，,网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此，网孔电流法只对网孔回路列写KVL方程，方程数为网孔数。,支路电流可表示为：,il1,il2,i1 = il1，,i2 = il2 - il1,i3 = il2 ，,综上，网孔电流也是一组完备的独立变量。,2019年6月7日星期五,31,2. 方程的列写,整理得：,im1,im2,首先标出网孔电流的参考方向；,然后以各自的网孔电流方向为绕行方向， 列KVL方程：,网孔1：,R1 im1,+ R2(im1 - im2),+ uS2 - uS1 = 0,网孔2：,+ R3 im2,R2(im2 - im1),- uS2 = 0,(R1 + R2)im1,- R2im2,= uS1 - uS2,- R2im1,+ (R2 + R3)im2,= uS2,注意：im1和im2都流过R2！,2019年6月7日星期五,32,R11 = R1 + R2,同理， R22 = R2 + R3 是网孔2的自阻。,R12= R21= -R2，,观察可得如下规律：,uS11= uS1-uS2，,uS22= uS2，,是网孔1中所有电阻之和，称网孔1的自电阻。,简称自阻。,是网孔1、网孔2之间的互电阻。,网孔1中所有电压源电压的代数和。,网孔2中所有电压源电压的代数和。,简称互阻。,2019年6月7日星期五,33,方程的标准形式：,自阻总为正。, 注意,R11 im1+ R12im2 = us11,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互阻取正号；否则为负号。,当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正号。,R21 im1+ R22 im2 = us22,2019年6月7日星期五,34,3. 推广到具有m个网孔的平面电路,R11im1+ R12im2 + R13im3 + + R1mimm = us11 R21im1+ R22im2 + R23im3 + + R2mimm = us22 Rm1im1+ Rm2im2+ Rm3im3+ + Rmmimm = usmm,Rjk：互阻,Rkk：自阻，总为正。, 注意,+：流过互阻的两个网孔电流方向相同；,-：流过互阻的两个网孔电流方向相反；,0：无关。,规律：对不含受控源的电阻电路，总有Rjk= Rkj。,us11 usmm分别是网孔1 m的电压源代数和，网孔电流从电压源正极流出取 “+” ，流入取“-” 。,2019年6月7日星期五,35,解：,例：用网孔电流法求解电流 I。,选网孔为独立回路。,无受控源的线性网络Rjk=Rkj，系数矩阵为对称阵；,I2,I3,I1,(RS + R1 + R4)I1,- R1I2,- R4I3,= US,求出 I2、I3 后得：,- R1I1,+ (R1 + R2 + R5)I2,- R5I3,= 0,- R4I1,- R5I2,+ (R3 + R4 + R5)I3,= 0,I = I2 - I3, 表明,当网孔电流均取顺(或逆)时针方向时，Rjk均为负。,2019年6月7日星期五,36,小结,(1)网孔电流法的一般步骤：,选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；,以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 个网孔电流；,其它分析。,求各支路电流；,(2)网孔电流法的特点：,仅适用于平面电路。,2019年6月7日星期五,37,3-5 回路电流法,1. 回路电流法,以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。是一种适用性较强的分析方法。,回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：b - (n-1),列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少 n-1 个。,2019年6月7日星期五,38,2. 支路电流与回路电流的关系,而树支电流：i1,把连支电流 i2、i3 分别作为在各自单连支回路中流动的假想回路电流 il2、il3 。,所以说，回路电流是一组完备的独立变量。,可见，3个支路电流都可以通过回路电流表达。,即：i2 = il1，,i3 = il2,il1,il2,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关结点，回路电流流进一次，必流出一次。与网孔电流一样，回路电流的假定也自动满足 KCL。,= -il1-il2,2019年6月7日星期五,39,3. 方程的列写,例：用回路电流法 求解电流 I。,I2,I3,I1,解：,只让一个回路电流经过R5支路。,(RS + R1 + R4)I1,- R1I2,- (R4 + R1)I3,= US,- R1I1,+ (R1 + R2 + R5)I2,+ (R1 + R2)I3,= 0,- (R4 + R1)I1,+ (R1 + R2)I2,+ (R1 + R2 + R3 + R4)I3,= 0,则有 I = I2, 这样选回路的特点是：计算量减少了，但互有电阻的识别难度加大了，容易遗漏互有电阻。,2019年6月7日星期五,40,4. 回路电流方程的标准形式,具有 l = b - (n -1)个回路的方程：,R11il1+ R12il2 + R13il3 + + R1lill = uS11,R21il1 + R22il2 + R23il3 + + R2lill = uS22, ,Rl1il1 + Rl2il2 + Rl3il3 + + Rllill = uSll,互阻Rjk ：,自阻Rkk ：, 与网孔电流法类似,相同取“+”，相反取“-”，无关取0。,总为正。,uskk：,回路电压源代数和，回路电流从电压源正极流出取正，流入取负。,根据流过互阻的回路电流方向取,2019年6月7日星期五,41,小结,选定b-(n-1)个独立回路，并确定回路电流方向； 对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程(绕行方向与回路电流方向一致)； 求解上述方程，得到 l 个回路电流； 求各支路电流； 其它分析。,(2)回路法的特点,通过灵活的选取回路可以减少计算量。,(1)回路法的一般步骤,互有电阻的识别难度加大，容易遗漏互有电阻。,难点,2019年6月7日星期五,42,5. 含理想电流源支路的处理,方法是： 引入电流源电压，增补回路电流和电流源电流的关系方程。,(RS + R1 + R4)I1,- R1I2,- R4I3,= US,- R1I1,+ (R1 + R2)I2,= U,- R4I1,+ (R3 + R4 )I3,= -U,I1,I2,I3,方程中包括电流源电压。,增补方程：,IS = I2 - I3,2019年6月7日星期五,43,另一种处理方法, 选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流即 IS 。,I1,I2,I3,I2 = IS,(RS + R1 + R4)I1,- R1I2,- (R4 + R1)I3,= US,- (R4 + R1)I1,+ (R1 + R2)I2,+ (R1 + R2 + R3 + R4)I3,= 0,IS为已知电流，实际减少了一方程。,2019年6月7日星期五,44,6. 含受控源支路的处理要点,先把受控源看作独立电源，而控制量用回路电流表示； 用观察法写出“初步的”方程； 再整理成一般形式，解之即可。,整理后的行列式将不再对称。, 注意,2019年6月7日星期五,45,例：列写图示电路的 回路电流方程。,把受控电压源看作,i1,i2,i3,解：选网孔为独立回路，,独立电压源列方程：,(Rs + R1+ R4) i1,因受控源的控制量U 是未知量，需增补一个方程：,U = R3 i3,整理消去控制量 U 得,(Rs+R1+R4)i1-R1i2-R4i3=Us,-R1i1+(R1+R2)i2 -5R3i3= 0,-R4i1+(R3+R4 +5R3)i3 = 0,- R1 i2,- R4 i3,= Us,- R1 i1,+ (R1 + R2) i2,= 5U,- R4 i1,+ (R3 + R4) i3,= -5U,2019年6月7日星期五,46,解题指导：列写图示电路的回路电流方程。,解 1：选网孔为独立回路，,设电流源和受控电流源两端的电压分别为U2和U3，则回路电流方程为：,1,2,3,4,L1：(R1+R3) i1 - R3 i3 = -U2,L2：R2 i2 = U2 - U3,L3：-R3i1+ (R3+R4+R5)i3 -R5i4 = 0,L4：-R5i3+ R5 i4 = U3 - U1,方程多出 U1、U2 和 U3三个变量，需增补三个方程：,iS= i1-i2 ，,- R1 i1 = U1 ，,i4-i2 = gU1。,2019年6月7日星期五,47,解题指导：列写图示电路的回路电流方程。,解 2：回路2选大回路。,回路1的电流为 iS，,L1：i1= iS,2,L2： R1i1+ (R1+ R2+ R4) i2,+ R4 i3= -U1,L3： -R3i1 + R4i2 + (R3+ R4+ R5) i3,- R5 i4= 0,L4： i4 = g U1,增补方程：,- R1 (i1 + i2 ) = U1,回路4的电流为 gU1。,2019年6月7日星期五,48,解题指导：求电路中电压U，电流 I 和电压源,解：关键是独立回路的选取。,i1,i2,i3,i4,回路1：i1 = 2A,回路2：i2 = 2A,回路3：i3 = 3A,回路4：6i4,解之：i4=,- 4 + 6-2+12,6,= 2A,电压 U = 2i4+ 4 =8V,电流 I = I1+I3-I4,= 2+3-2 = 3A,电压源吸收的功率,P = 4i4 = 8W,故产生(-8)W功率。,-3i1,+i2,-4i3,= -4,产生的功率。,2019年6月7日星期五,49,解：把两个无伴电流源分别选为回路电流。,il1,il2,il3,il4,L2：,+ (R2+R3)il2,-R2il1,+ R3il3,- R3il4,= us2,-us3,L4：,+ (R3+R4)il4,-R3il3,-R3il2,=us3,- u2,il1 = iS1 ，,il3= i2,= il2,式中：u2,= R2,(il1-il2),= R2 il1,- R2il2,R2 il1,-(R2+R3)il2,-R3il3,+(R3+R4)il4,=us3,例题分析：教材P67 例3-4,选另两个回路时不经过无伴电流源。,代入L4整理得：,解之即可。,2019年6月7日星期五,50,3-6 结点电压法,以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。,选结点电压为未知量，则 KVL自动满足，无 需列写 KVL方程。,1. 基本思想,各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，能方便地得到各支路电压、电流。,例如支路2、3、5构成的回路，由 KVL：,-un2,例如 i4 =,un1-un2,R4,+ (un2-un3),+un3 = 0,2019年6月7日星期五,51, 注意：, 结点电压法列写的是结点上的KCL方程，即以结点电压为变量对独立结点列KCL方程。显然，独立方程数为(n-1)。, 可根据求解方便与否，任,意选择参考点。其它结点与参考点的电位差即为,结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。,2019年6月7日星期五,52,2. 方程的列写,选定参考结点，标明其余n -1个独立结点的电压。,列 KCL方程,i1,=,un1,R1,-,iS1,i2,=,un2,R2,i3,=,un3,R3,-uS3,i4,=,un1,R4,-un2,i5,=,un2,R5,-un3,i6,=,un1,R6,-un3,+ iS6,用结点电压表示各支路电流,i1 + i4 + i6 = 0,将 i1 i6代入KCL方程,i2 - i4 + i5 = 0,i3 - i5 - i6 = 0,2019年6月7日星期五,53,+,+,= 0,i1,i4,i6,整理得,+,+,un1,-,un2,-,un3,= iS1,- iS6,用同样的方法，可列出结点、的方程。,代入 i1 + i4 + i6 = 0 得：,2019年6月7日星期五,54,把,改写成 G1 G6,(G1 + G4 + G6)un1- G4 un2- G6un3 = iS1- iS6,-G4un1+ (G2 + G4 + G5)un2 - G5un3 = 0,-G6un1 - G5un2 + (G3 + G5 + G6)un3 = iS6 + G3uS3,2019年6月7日星期五,55, 观察电路与方程得出结论：,自导总是正的！,G11= (G1+ G4+ G6)为结点的自导；,G22= (G2+ G4+ G5)为结点的自导；,G33= (G3+ G5+ G6)为结点的自导；,结点的自导等于接在该结点上所有支路的电导之和。,(G1 + G4 + G6)un1- G4 un2- G6un3 = iS1- iS6 - G4un1+ (G2 + G4 + G5)un2 - G5un3 = 0 - G6un1 - G5un2 + (G3 + G5 + G6)un3 = iS6 + G3uS3,2019年6月7日星期五,56,G23 =G32 = -G5 是结点,G12 =G21 = -G4 是结点,与结点之间的互导。,G13 =G31 = -G6 是结点,与结点之间的互导。,与结点之间的互导。,互导是接在结点与结点之间所有支路的电导之和，且总为负值。,(G1 + G4 + G6)un1- G4 un2- G6un3 = iS1- iS6 - G4un1+ (G2 + G4 + G5)un2 - G5un3 = 0 - G6un1 - G5un2 + (G3 + G5 + G6)un3 = iS6 + G3uS3,2019年6月7日星期五,57,iS11= iS1- iS6，是流入结点, 流入结点取正号，流出取负号。,iS22 = 0，是流入结点,的电流源电流的代数和。,iS33= iS6 +G3 uS3，是流入结点的电流源电流的代数和。,的电流源电流的代数和。,(G1 + G4 + G6)un1- G4 un2- G6un3 = iS1- iS6 - G4un1+ (G2 + G4 + G5)un2 - G5un3 = 0 - G6un1 - G5un2 + (G3 + G5 + G6)un3 = iS6 + G3uS3,2019年6月7日星期五,58,3. 结点法标准形式的方程,G11un1 + G12un2 + + G1(n-1)un(n-1) = iS11 G21un1 + G22un2 + + G2(n-1)un(n-1) = iS22 G(n-1)1un1 + G(n-1)2un2 + +G(n-1)(n-1) un(n-1) = iS(n-1)(n-1),电路不含受控源时，,Gkk：自导总是正。,Gij：互导总是负。,互导Gij = Gji。系数矩阵为对称阵。,iSkk：流入结点 k 的所有电流源电流的代数和。,入正出负。,对于具有 n - 1个独立结点的电路，结点电压方程的标准形式为：,2019年6月7日星期五,59,4. 结点法的一般步骤：,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，,(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 通过结点电压求各支路电流；,列写其KCL方程；,2019年6月7日星期五,60,5.解题指导1：试列写图示电路的结点电压方程。,解：选取结点编号及参考结点。,列结点电压方程：,结点,(G1+ G2+ GS)Un1,- G1Un2,- GSUn3,= GSUS,-G1Un1,结点,+ (G1+ G3+ G4)Un2,- G4Un3,= 0,结点,- GSUn1,- G4Un2,+ (G4+ G5+ GS)Un3,= -GSUS,2019年6月7日星期五,61,解题指导2：试列写图示电路的结点电压方程(图中含有无伴电压源支路)。,解法1：设流过电压源的,把电压源看作,因所设电流 I是未知量，故需增补一个方程，即增加结点电压和电压源电压的关系方程。,电流为 I。,电流源列结点电压方程：,结点,(G1+ G2)Un1,- G1Un2,= I,Un1 - Un3 = US,增补方程：,结点,-G1Un1,+ (G1+ G3+ G4)Un2,- G4Un3,= 0,结点,- G4Un2,+ (G4+ G5)Un3,= -I,2019年6月7日星期五,62,解2：选为参考结点。,此时结点的电压,等于电压源的电压 US。,结点,Un1 =US,结点,解题指导2：试列写图示电路的结点电压方程(图中含有无伴电压源支路)。,？,-G1Un1,+ (G1+ G3+ G4)Un2,- G3Un4,= 0,结点,-G2Un1,- G3Un2,+ (G2+ G3+ G5)Un4,= 0,2019年6月7日星期五,63,本题说明,对含有无伴理想电压源的电路，结点电压方程的列写有两种方式： 引入电压源电流 I，把电压源看作电流源列写方程，然后增补结点电压和电压源电压的关系方程，从而消去中间变量 I。这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。 选择合适的参考点，使无伴理想电压源电压等于某一结点电压 。这种方法列写的方程数少。 在一些有多个无伴电压源问题中，以上两种方法往往并用。,2019年6月7日星期五,64,解题指导3：列写图示电路的结点电压方程(图中含有受控源)。,因受控源的控制量 uR2是未知量，需增补一个方程。,将 uR2 = un1代入结点式消去控制量 uR2 。,解：选为参考结点。,先把受控源当作独立源列方程：,结点,-,R1,1,un1,+,R1,1,+,R3,