方差及常见分布的期望方差.ppt

4.2 随机变量的方差,1. 方差的概念与计算,3. 方差的性质,2. 常见分布的方差,下页,、方差概念的引入,随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机 变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.,下页,4.2 随机变量的方差,引例1. 从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸 如下： 甲： 8， 9， 10， 11， 12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm), 公差d=0.5cm, 问那一台车床好？,以X甲 ，X乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得 E(X甲) =E(X乙)10. 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有 显著差异，甲加工的零件只有件合格，乙加工的全部合格.,下页,引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出. X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？,因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的. 怎么体现这个差别呢?,E(X)=9.2(环) ;,E(Y)=9.2(环) .,思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况.,这表明乙的射击水平比较稳定.,甲:,乙:,下页,引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出. X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？,思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况.,这表明乙的射击水平比较稳定.,甲:,乙:,E(X)=9.2(环) ;,E(Y)=9.2(环),一、方差的概念,定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为X的方差，记作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 .,其中 PX=xk=pk k=1,2,3,., 离散型随机变量,二、方差的计算,下页,一、方差的概念,定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为X的方差，记作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 ., 连续型随机变量,证明：,D(X)= EX E(X)2,= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2,解：因 E(X) = p， 而 E(X 2) = 12p + 02q = p, 于是,D(X) = E(X 2)- E(X)2 = p - p2 = p q.,下页,三、方差的计算公式,= E(X2)- E(X)2 .,例1设随机变量 X (0-1) 分布，其概率分布为 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X) .,例2设随机变量X具有概率密度,求 D(X) .,所以,解：,下页,四、常见分布的方差, 0-1分布 概率分布为,E(X) = p.,下页,D(X)= E(X2)-E(X)2,= p-p2 = p(1-p) = pq., 二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为,E(X) = np.,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq.,从而得,下页, 泊松分布 设随机变量XP(l)，其概率分布为, k = 0,1,2,3,l0,E(X) = l .,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = l2 +l -l2 =l .,从而得,下页, 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为,从而得,下页, 指数分布 设X E(l) 概率密度为,从而得,下页, 正态分布 设XN(,2 )概率密度为,推广 若X1,X2,Xn相互独立，则D(X1+X2+Xn),设 C 均为常数，则有,下页,五、方差的性质,性质2 D(CX)= C 2 D(X),性质3 D(X+C)= D(X),性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y),性质1 D(C)= C,证明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X).,(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X).,EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y)，,由于 X,Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，从则有,EX-E(X)Y-E(Y)= 0 ,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)，而,于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),练习：若X，Y相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .,下页,D(X)=D(X1+X2+Xn),令,显然 Xi 均服从(0-1)分布, 即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq (i =1,2,n),且 X1, X2, , Xn相互独立. 于是有,E(X)= E(X1+X2+Xn),= E(X1)+E(X2)+E(Xn)= np.,=D(X1)+D(X2)+D(Xn)= npq.,解：,X= X1+X2+Xn ，,（这是新视角用意所在！）,例3在 n 重贝努里试验中，用 X 表示 n 次试验中事件A 发 生的次数，记P(A)= p，求E(X)，D(X) ,下页,本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！,例4.,解：,下页,因为,从而,下页,例4.,解：,小 结,D(X)=EX-E(X)2,1.方差的定义与计算,2.常见分布的期望与方差,下页,练习题,1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中 的概率为0.4则 E(X 2)=( ),2.随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则 Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（ ）,二、单选题,一、填