概率与概率分布fusheng.ppt

第二章 概率与概率分布 主讲人：阮禄章 Tel生活中最重要的问题，其中占大多数实际上只是概率的问题。 拉普拉斯,引言 第一节 随机事件及其概率 1.1基本概念 1.2随机事件的概率 1.3概率的定义与性质 1.4条件概率 1.5事件的独立性与相关性 小结,内容提要,第二节 概率分布 随机变量 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布 补充材料1：1维随机变量 补充材料2：多维随机变量,教学重点： 概率论的基本运算方法。 教学要求： 了解概率与概率分布的相关知识。,引 言,概率(然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并行,的数学分支学科，并无从属关系.,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有,科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个,部门中. 例如：,1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预,测都与 概率论 紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在,3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和,数据处理；,临床中应用，均需要用到 假设检验；,许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知识就是 排队论。 正如法国数学家 拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”,第一节 随机事件及其概率,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,1.1.2 随机现象的统计规律性,1.1.3 样本空间,1.1.4 随机事件及其运算,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象（inevitable phenomena）确定性现象（definite phenomena）；另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象或 不 确 定 性 现 象（indefinite phenomena）。,在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)，由二阶微分方程 来描述，其中g为 重力加速度，这是确定的，必然的。,随机现象 掷一枚硬币,观察向上的面; 下一个交易日观察股市的指数上升情况; 某人射击一次,考察命中环数; 从一批产品中抽取一件,考察其质量; ,确定性现象 1.导体通电,考察温度; 2.异性电菏放置一起,观察其关系; ,1.1.2 随机现象的统计规律性,虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在,上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充,其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能,的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特点：,（1） 可重复性：试验原则上可在相同条件下重复进行; （2） 可观察性：试验结果是可观察的，所有可能的结果是明确的； （3） 随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。 抛掷硬币的试验结果可表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。,下一节,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,De Morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovskii,4040,4092,10000,12000,24000,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,下一节,1.1.3 样本空间,随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点）（不 能 再 分的事件称为基本事件），因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示样本点与样本空间。,例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。,例1.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间 =1，01，001， 0001， ,例1.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时， 样本空间为：,例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2, 样本空间为=0次，1次，2次,写出下列各个试验的样本空间: 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？ 4.袋中有编号为1,2,3,n的球,从中任取一个,观察球的号码； 5.从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？,课堂练习,1.1.4 随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反，空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称 为不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一 个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或 称事件A包含于事件B。记作 。,2.事件相等,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。,3.事件的并,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事 件A与B的并，记作 。,4. 事件的交,“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作 或 。,5. 事件的差,“ 事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与 B的差, 记作 A-B .,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即 ，则称A与B是互不相容事件.,6. 互不相容事件,7. 对立事件,“事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，记作 ，易见， 。,8.完备事件组,则称 是一个完备事件组。显然，A与 构成一个完备事件组。,为了帮助大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,表1.2,符号,集合论,概率论,全集,样本空间：必然事件,空集,不可能事件,续上张,符号,集合论,概率论,推广:,注:,1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|,B=x-a(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,课堂练习,1.2 随机事件的概率,1.2.1 概率和频率,1.2.2 组合记数,1.2.3 古典概率,1.2.4 几何概率,1.2.5 主观概率,第一节 随机事件及其概率,1.2 随机事件的概率,1.2.1 概率和频率,概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们称为事件的概率。,随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。,若随机事件A在 n 次试验中发生了m 次，则量 称为事件A在n 次试验中 发生的频率，记作 ，即： 。,它满足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,则 ;,如果A是不 可能事件，有m=0,则 ;,就是说：必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。,通过表1.1投硬币实验可以看出，随着试验次数n的增加,A发生的频率围绕0.5这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件A发生的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊，而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近p,数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可能性大小的度量。,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,概率的统计定义：,在相同条件下重复进行的 n 次试验,中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常,数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,1.2.2 组合记数,加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法。,排列: 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列: 逐个取完,重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有,组合: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放回地）组成一组， 不同的分法共有,例如:,两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种?,解 (1) 用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,古典概型 设为试验E的样本空间，若 a、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个； b、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的； c、试验的所有可能结果两两互不相容。,古典概型概率的定义,设E为古典概型,为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:,1.2.3 古典概率,(1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点; 数清样本空间与随机事件中的样本点数; 列出比式进行计算。,注意:,例1.2. 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率： （1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.,表示“点数之和为8”事件，,表示“第二次掷得3点”事件,解：设,所以,则,例1.2. 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率： （1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品.,解： 设A =取到的两个都是次品，B=取到的两个中正、次品各一个, C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）样本点总数为62，事件A包含的样本点数为22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的样本点数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的样本点数为62-22=32， P(C)=32/36=8/9,所以P(C )=32/36=8/9,思考：若改为无放回地抽取两次呢? 若改为一次抽取两个呢？,几何概型 设为试验E的样本空间，若 试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; 每个样本点发生具有等可能性 ;则称E为几何概型。,几何概型概率的定义,设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M，且D含在内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:,1.2.4 几何概型 (等可能概型的推广),例1.2.3 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.,9点,10点,10分钟,及,在,是区间时，表示相应的长度；在,是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积。,注：,例1.2.4 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.,解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,注：用几何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“ 随机地向边,长为1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点” 事件A 为“点投在黄、 蓝两个三角形内” , 求,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必一定发生。,1.2.5 主观概率,概率的相对频率的解释是一种很有用的解释，但有时它难以应用于必须估计其概率的特定的实际问题.可能没有合理的自然的“试验”能重复很多次，致使我们可以计算某种结果出现的相对次数.,例如，有什么试验能让你来估计下一个十年中唐山可能发生灾难性地震的概率呢？这里，不确定性在我们的头脑里，并非在现实之中.,统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的.这样给出的概率称为主观概率.,1. 概率的定义与性质,1.3.1 概率的公理化定义,1.3.2 概率的基本性质,第一节 随机事件及其概率,1.3.1 概率的公理化定义,前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.,为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.,概率的公理化的定义:,(2)规范性,(1)非负性,两两互不相容,设,是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：,则,则称P(A)为事件A的概率。,1.3.2 概率的公理化定义,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形。,证明 (3),A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).,P(A+B)=PA+(B-AB),证明 (4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),类似可证其他.,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.3.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考 在以上条件下，P（A-B）=？,例1.3.2 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的 概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 , 求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B).,解 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1,P( )=0.15，,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P（ )=0.85,又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解答： (1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,课堂练习,P(A)=P(B)= P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 4. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答:(3)P( )= P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)=1-P(A)=1-p,1. 条件概率,1.4.1 引例,1.4.2 条件概率的定义,1.4.3 条件概率的性质,1.4.4 乘法公式,1.4.5 全概率公式,1.4.6 贝叶斯(Bayes)公式,第一节 随机事件及其概率,1.4.1 引例,引袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同。若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？,设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.,所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为,解 列表,从而有,设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则,称P(AB)/P(A) 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为,定义:,1.4.2 条件概率的定义,表1.5给出乌龟的寿命表.寻求下面一些事件的条件概率. 表1.5乌龟的寿命表,（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？,（2）20岁的乌龟能活到200岁的概率是多少?,1.4.3 条件概率的性质,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,1.4.4 乘法公式,某公司生产的PCR仪能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的PCR仪能用到1500小时的概率？,解 令 A PCR仪能用到1000小时 B PCR仪用到1500小时,所求概率为,某批核酸试剂中，甲厂生产占60%，已知甲厂的次品率为10%，从这批核酸试剂中随意的抽取一瓶，求该试剂是甲厂生产的次品的概率。,解:设 A,表示事件“核酸试剂是甲厂生产的”，,B 表示事件“试剂是次品” 由题设知,根据乘法公式，有,一批产品100件,70件正品,30件次品,甲厂生产40件,乙厂生产30件,甲厂生产20件,乙厂生产10件,从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”, 试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).,解:,从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,解: 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是 而不是 ！）.,所以,人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和。全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决。,例如：股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。,1.4.5 全概率公式,解: A记为事件“利率下调”，那么即 为“利率不变” ，B记为事件“股票价格上涨”. 据题设知:,于是,=60%80%+40%40%=64%,定义 把基本空间分为n个事件，假如 （1） （2） 互不相容 （3） 则称事件组 为基本空间的一个分割。,这个定理的运用关键在于寻找一个合适的分割，使诸概率和条件概率容易求得。,(敏感性问题的调查) 学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。 问题1：你的生日是否在7月1日之前？ 问题2：你是否在考试时作过弊？ 被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是已知的，即P(红球)= ， P(白球)=1- 。,被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内。,是 否,上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾，如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他(她）,参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查。 当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计.设有 张答卷，其中 张答“是”，于是回答“是”的比率是 ，可用频率 去估计，记为,(是)= ，,这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般认为是0.5，即：,(是 )=0.5,另一种是摸到红球后回答问题2答“是”，这也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中所占比率 ，即 (是 )=P 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来 P(是)= P(是白球)P(白球)+ (是红球)P(红球) 由此可获得感兴趣的比率p,P=,注：像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、学生中看黄色书籍的比率等都可以参照此方法组织调查，获得感兴趣的比率.,上述公式称为贝叶斯公式。,设是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,An满足:,则 对于任何一个正概率事件B，有,1.4.6 贝叶斯(Bayes)公式,在实际应用中用于解决下面类型的问题.假设事件组 为 为基本空间 的一个分割，并且假设已知它们的概率 ，事件 在随机试验中不能或没有直接观察到，只能观察到与这些事件相联系的某事件 ,事件 必与事件 之 一相伴随而出现，并且已知条件概率 .假设在试验中出现了事件 ,要求在此条件下对事件 出现的可能性做出判断，即求出它们关于 的条件概率 ,通常称 为 的验前概率，而称 为 的验后概率。,每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.,解,(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2),B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,Bayes公式,B2,1.5 事件的独立性与相关性,1.5.1 两个事件的独立性与相关性,1.5.2 有限个事件的独立性,1.5.3 相互独立事件的性质,1.5.4 Bernoulli概型,第一节 随机事件及其概率,例如：箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品。 记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则：,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.,1.5.1 两个事件的独立 性与相关性,定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1: A.B为两个事件,若P(A)0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).,证明：A.B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.,证明 不妨设A.B独立,则,其他类似可证.,推论2:在 A与 B, 与 B,A与 ，与 这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。,注意: 判断事件的独立性一般有两种方法: 由定义判断,是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断.,例如：某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与听力都有缺陷，记,=“学生视力有缺陷”，,=“学生听力有缺陷”，,=“学生听力与视力都有缺陷”，,现在来研究下面三个问题：,（1）事件,与,是否独立？,由于,所以事件,与,不独立，即该校学生视力与听力,缺陷有关联.,（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？,这要求计算条件概率,由定义知,（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？,类似地可算条件概率,定义 设,称,为事件,与,的相关系数,定理1.5.1 (1),当且仅当,与,相互独立；,(3),(2),;,定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事A1,A2,An,若对任何正整数m(2mn)以及,则称这n个事件相互独立.,若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立。,注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,1.5.2 有限个事件的独立性,例如：随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数.,则,但,1.5.3 相互独立事件的性质,性质1 如果,个事件,相互独立，则,个事件改为相应的对立事,个事件仍然相互独立.,将其中任何,件，形成新的,性质2 如果,个事件,相互独立，则有,例：三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例：已知事件 A, B, C 相互独立,证明:,证,事件,若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点: (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行.,则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.,贝努里公式 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则,1.5.4 Bernoulli概型,例：同时掷四颗均匀的骰子,试计算: (1) 恰有一颗是6点的概率; (2) 至少有一颗是6点的概率.,解: 这是一个4重贝努里试验, 掷每一颗骰子就是一个基本试验.,每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以,(1) 恰有一颗是6点的概率为,(2) 至少有一颗是6点的概率为,例：八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率.,解 设一门炮击中目标为事件A, P(A) = 0.6,设目标被击毁为事件B,则,小结：,一、事件 （一）必然现象与随机现象 1、必然现象 指在某些条件下，一定会或一定不会发生的现象，包括必然事件和不可能事件两类。 2、随机现象 指在相同条件下重复进行试验，结果未必相同，这种现象称为随机现象。,确定性现象,非确定性现象,频率稳定性：当在相同条件下进行大量观察试验时，某一试验结果出现的次数与总试验次数之比常常非常稳定的现象，是随机事件内在规律的反映。 研究随机现象本身规律的科学就称为概率论。基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，揭示偶然现象中所寄寓的必然性的科学就是统计学。,(二)随机试验(random trial) 与事件(random event) 我们把对自然现象的一次观察或进行的一次科学试验统称为一个试验。如果这个试验具有下