概率论与数理统计(复旦大学出版社)南京财经大学朱玲妹老师的.ppt

3 协方差及相关系数,返回目录,则称其为 X 与 Y 的协方差 (Covariance),为X 与Y 的相关系数,或称为X 与Y 的标准协方差,定义 若EX-E(X)Y -E(Y)存在,计算公式,协方差的性质：,(a,b 是常数),定理,证明:,证明:,称X 与 Y 正相关.,称X 与 Y 负相关.,证明：,称X 与 Y 不相关.,若 X 与 Y 相互独立,则X 与 Y 不相关.,X 与 Y 相互独立,X 与 Y 不相关,(X 与 Y 不相关),X 与 Y 不相关,X 与 Y 相互独立,求：,例1 随机变量(X, Y)的分布律为:,解:,例2 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为,求：,解:,例3 已知,求：,解:,例4 设X 的分布律为:,求XY , 并讨论X与Y 的独立性.,解:,X与Y 不独立.,X与Y 不相关.,(1)不相关的随机变量不一定独立;,(2)不相关不是没有关系,而是没有线性关系.,本例说明:,求X和Y 的相关系数.,例5,设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y 相互独立的充要条件是X与Y 不相关.,思考题：,1.二维随机变量独立与不相关有什么关系？相关系数表示什么？,2. 二维正态分布的联合密度函数与边缘密度函数有什么关系？,思考题答案：,相关系数绝对值的大小反映了随机变量间线性关系的密切程度.,X 与 Y 不相关,1. X 与 Y 相互独立,当取不同值时,表示不同的二维正态分布.而边缘分布与无关,所以不同的联合分布可以有相同的边缘分布.,对于不相关的两个正态随机变量,联合分布可以确定边缘分布,边缘分布也惟一确定联合分布.其它分布不具备这性质.,2. 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布,当 保持不变时,可以取不同的值.,练习题：,1. 随机变量X b (n, p), Y 服从参数为的指数分布,则有( ),则有( ),4.如果,独立,则( ),3.与独立,其方差分别为 6 和 3,则 =( ) (1) 9 ； (2) 15； (3) 21； (4) 27,5.设,为两个随机变量, 则 ( ),(1) 2.4； (2) 14.4； (3) -2.4； (4) 14.4,6.设随机变量 X 与Y 的方差存在且不等于0,则,是X 与Y ( ),(1) 不相关的充分条件,但不是必要条件. (2) 独立的充分条件,但不是必要条件. (3) 不相关的充分必要条件. (4) 独立的充分必要条件.,7.关系式 表示随机变量X 与Y ( ),(1) 相互独立 (2) 不相关,(1) 求 ,(2) X与Y是否相关？是否独立？,9. 设二维随机向量 的联合分布为,8. 设随机变量 X与Y 的相关系数为0.5，,则,11. 设二维随机变量,的联合密度函数为,求 的相关系数.,10.设随机变量X 和Y 的联合密度为,求X和Y 的相关系数.,14.利用二维正态分布的结论,有,13. 设二维随机向量(X,Y)服从,则X和Y的协方差Cov(X,Y)=,15. 设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布,且,求(X,Y)的联合概率密度函数.,16 .设二维随机向量 (X,Y) 的密度函数为,(1)求随机变量X和Y的密度函数,X和Y的相关系数; (2)问X 和Y是否独立?为什么?,其中 与 都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1.,练习题答案：,1. (3) ；2. (2) ；3. (4) ；4. (2) ；5. (1) ；6