总体与样本——概率论与数理统计(李长青版).ppt

样本及抽样分布,第 六 章,第一节 总体与样本、经验分布函数,一、数理统计的基本概念,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,研究某批灯泡的质量,总体,总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心,其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标,在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量,指标的全体就是总体.,该批灯泡寿命的,灯泡的寿命,全体就是总体,总体可以用一个随机变量来表示,设该大学一年级学生 的年龄分布如下表,若从该大学一年级学生中任意抽查一个学生的年龄，所得结果为一随机变量，记作X.,X的概率分布是：,可见，X的概率分布,也就是说，总体可以用一个随机变量及其分布,来描述.,反映了总体中各个值的分,布情况. 很自然地，我们,就用随机变量X来表示所,考察的总体.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体,2. 样本,中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信,息, 这一抽取过程称为 “抽样”, 所抽取的部分个体称,为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,但是, 一旦取定一组样本, 得到的是n个具体的数,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为 n 的样本可以看作 n 维随机变量,记作,(x1 , x2 , , xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为,了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑,抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，,它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有,相同的分布.,2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，,它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变,量X1,X2,Xn表示.,若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的,联合分布函数为,若总体的分布密度函数为 f (x) , 则样本的联合密度函,数为,则X1，X2，Xn的联合分布律为,若X的分布律为,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说,到“X1, X2 , Xn 是取自某总体的样本”时，若不特别,说明，就指简单随机样本.,例1 设总体XB(1, p)，X1，X2，Xn为取自总体,X的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为,样本分布）.,解,所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为,X的分布律为,若总体 X 服从正态分布, 则称总体 X为正态总体.,概率密度函数为,二、简单数据处理,通过观察或试验得到的样本值，,一般是杂乱无章的，,需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性,据统计表和频率直方图是两种常用的整理方法.,分组数,1. 分组数据统计表,若样本值较多时,可将其分成若干组,分组的组数,应与样本容量相适应.,分组太少,则难以反映出分布的,特征,分组太多, 则由于样本取值的随机性而使分布显,得杂乱.,因此,分组时,确定分组数(或组距)应以突出分,布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则.,区间所含的样本值个数称为该区间的组频数.组频,数与总的样本容量之比称为组频率.,2. 频率直方图：,频率直方图能直观地表示出组频率数的分布.,其步骤如下：,(1),(2),并,且小区间不包含右端点)：,(3),组频率,及,求组频数,(4),所有小矩形合在一起就构成了频率,所有小矩形合在一起就构成了频率直方图.,典型的频率直方图如下图所示.,3. 经验分布函数,一组观察值，将其从小到大排列成,定义,称 Fn(x) 为样本分布函数或经验分布函数.,格里汶科定理：,对于任一实数 x , 当,时，,以概率1一致收敛于分布函数,即,关于经验分布函数的一