《全同粒子》PPT课件.ppt

全同粒子,本讲介绍多粒子体系的量子力学基本 原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。,1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子： 静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如，电子、质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根 据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区 分；另外，对全同粒子体系进行测量时，关心的是在空间某 点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。,1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系 中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称 为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3 哈密顿算符的交换对称性 考虑N个全同粒子组成的体系， 表示第i个粒子的空 间坐标 与自旋变量 ， 表示 第i个粒子在外场中 的能量， 表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的 哈密顿算符 写为,（1）,任何两个粒子（如第i个与第j个）相互交换后，显然 是不变的，记为 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈 密顿算符的这种交换对称性又可记为,（2）,（3）,1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1） 对波函数的作用 设N个全同粒子体系用波函数 描述，则有 根据全同性原理， 与 所描述的是同一量子态，而量 子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常 数因子 ，即 上式用 再作用一次，相当于 中的交换复原，即,（4）,（5）,（6）,由此得 ，所以交换算符的本征值为 （2）波函数的交换对称性 当+1时，则 ，表示交换两个粒子后波函数 不变，这时的波函数称为对称波函数，记为 。 当-1时，则 ，表示交换两个粒子后波函数 变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为 。 可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交 换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒 子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能 描述全同粒子体系的。 另外，由于 ，可见 是守恒量，即全同粒子体系 波函数的交换对称性不隨时间而变化。,（7）,1.5 全同粒子的分类 实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒 子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为 整数倍的粒子 所组成的 全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例 如， 介子 ，粒子（S0），基态的He(S=0)，光 子（S1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose) 爱因斯 坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。 （2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子 ，所 组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对 称的。例如，电子、质子、中子等，S1/2，它们在统计物 理中遵从费米（Fermi） 狄拉克(Dirac)统计规律，称为费 米子。,2 全同粒子体系的波函数 介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交 换对称性的波函数 2.1 两个全同粒子体系的波函数 假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密 顿算符为 , 归一化本征函数为 , 本征值为 ，则应有 对于全同粒子， 在形式上是完全相同的，不考虑 两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为,（8）,（9）,相应的本征方程 式中的 可以分离成两个单粒子波函数的乘积 （因为不考虑相互作用） 当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，波函数为 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为 它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 （交换简并）,（10）,（11）,（12）,注意： 是否具有交换对称性？ 当 时， 具有交换对称 对应玻色子 当 时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不 具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件 （1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称 的，所以当 时，归一化的对称波函数构成如下 当 时,（13）,（14）,（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对 称的，归一化的反对称波函数构成如下 由上式可以看出，当 时，则 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能 有两个或两个以上的费米子处于同一状态,（15）,2.2 N个全同粒子体系的波函数 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 不显 含时间，以 和 表示 的第i个本征值和本征函数，则 N个全同粒子体系的哈密顿量为 对应本征值 的本征态 体系的本征方程为,（16）,（17）,（18）,由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒 子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解 了。 但 并不满足全同粒子体系波函数交换对称 性的要求，还须作变换。 （1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒 子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 ， 所以玻色子系统的对称波函数是,（19）,但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有 个粒子处于 I态， 个粒子处于j 态， 个粒子处于k态，且 则因相同单粒子态的交换不会产生新的 结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数 所以N个玻色子体系的对称波函数为,例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。 解：设三个单粒子态分别为 （1）若三个粒子各处于不同状态 （共6项），则 （2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态， 如 则 （共3项），有 也可以是 或 等 这样的对称波函数共有六个,（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如 则 也可以是 或 这样的对称波函数共有三个,（2）对于N个费米子，若它们分别处于 态，则 反对称的波函数为 式中 规定了求和号下每一项的符号，若把 作为基本排列（第一项），则任一种排列 都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶 次对换 为正，奇次对换 为负。在 项中，奇偶 次对换各占一半。,（20）,注意： a 如果N个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如 则行列式两行相同，因而值为零。这表明不能有两个或两 个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容原理。 b 任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表 示是交换反对称。 C 对于N个非独立的全同粒子，由于粒子间的相互作用， 使体系的哈密顿量及波函数都不能写成（16）（17）式的形 式，但 仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求 依然存在，体系的对称及反对称波函数可由 的线性组合得 出。,3 氦原子 多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论 氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规 律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的 应用。 氦的原子核带电 ，不考虑核的运动，即视为两个全 同粒子的体系。以 和 分别表示两个电子的坐标和 自旋，系统的哈密顿量为 等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量， 中不含 自旋变量，即粒子的轨道和自旋是相互独立的。,（21）,氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式 可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结 为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于 电子属于费米子，故 必须是反对称的，这就要求 （1） 是对称的， 是反对称的；或 （2） 是反对称的， 是对称的。 3.1 两个电子的自旋函数 （1）从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有 和 现在的问题是 ，故耦合后的 总角动量,（22）,可见，对应 的耦合态矢有三个： 对应 的耦合态矢有一个： （2）从全同粒子波函数的要求出发。 由于单粒子态只有 ，忽略二个电子自旋之间 相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四个：,（23）,（24）,它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢： 任意二个电子体系波函数都可以用它们展开。 是对称自 旋波函数，但 它们不是二个电子体系对称或反对称 自旋波函数。用它们构成的两电子自旋函数分别为,（25）,证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方 与其在 轴 上的投影 的共同本征函数，因 由电子自旋一讲中例一可知,（26）,（27）,上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以以 即 是 ， 的共同本征函数，相应的本征值为 和 （相应的量子数为 ， ）,（28）,（29）,其它同理可得，将结果列表如下,3.2 氦原子的轨道运动 采用微扰法，将两电子间的库仑作用视为微扰，即 （1）坐标波函数的零级近似 由（31）可见， 是两个类氢原子哈密顿量之和，所 以它的本征值是二者能量和，本征函数是两个类氢原子波函 数之积，则,（30）,（31）,（32）,归一化的对称本征函数为 归一化的反对称本征函数为 它们可作为 的本征函数的零级近似。,（33）,（34）,（2）基态能量的一级修正 因为两个电子都处于基态，所以 能量的一级修正为,（35）,（36）,上式说明，基态能量的一级修正是电荷密度分布为 的电子与电荷密度分布为 的电子相互作用的库仑 能量。这样氦原子基态能量的一级近似为,（37）,（3）激发态能量的一级修正 平均电荷密度为 的电子与平均电荷密度 为 的电子间的相互作用库仑能,（38）,（39）,两电子的交换能 最后写出激发态能量的一级近似 它们分别对应零级近似的对称和反对称波函数。尽管K和 J实质上都属于两电子的库仑作用，但交换能没有简单的经 典对应，它完全属于波函数的对称性所导致的一种量子效 应。交换能的大小，主要依赖于两个电子波函数的重叠程 度。,（40）,（41）,3.3 氦原子的反对称波函数 由（22）直接可得 由