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文档简介

-1-,与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.,场:,如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着,某个物理量的一个确定的值，,该物理量的一个场.,如果该物理量是数量，称它为数量,场；,如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场.,分别用,表示.,及,则称在该空间定义了关于,-2-,第二节 数量场的方向导数与梯度,-3-,1. 数量场的等值面,在数量场 中，,称曲面 为该,数量场的等值面.,在平面场 中，称曲线,为它的等值线,如等温线、等高线等.,一个等值面通过；,等值面族充满了数量场所在的空间，,而且互不相交.,由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有,-4-,定义1：,2.方向导数,中的一点，,若沿方向 l,存在，,则称此极限为 在点,处沿 l 方向的方向导数，,记作,3. 直角坐标下方向导数的计算,-5-,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明:,且有,得,故,定理1:,-6-,例1.,的法向量，,解:,方向余弦为,而,法向量为,所以,所以,-7-,例2.,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用矢量形式表示为,它在点 P 的切向量为,-8-,3. 梯度,记作 gradu,即,定义：,称向量,为数量场 u(M) 在,设有数量场,点 M 处的梯度,引入哈密顿算子：,有,-9-,性质：,方向：u 变化率最大的方向,模 : u 的最大变化率之值,1),2),3),为等值面,在点 M 处的法向量，,u(M) 增大的一方.,指向数量场,注：,-10-,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,指向函数增大的方向.,-11
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