直接证明与间接证明.ppt

6.6 直接证明与间接证明,基础梳理 1. 综合法 (1)定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的_, 最后推导出所要证明的结论_, 这种证明方法叫综合法.,推理证明,成立,2. 分析法 (1)定义: 从_出发, 逐步寻求使它成立的_, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止, 这种证明的方法叫作分析法.,要证明的结论,充分条件,思考探究 综合法与分析法各有何特点？ 提示: 分析法的特点是: 从“未知”看“需 知”, 逐步靠拢“已知”, 其逐步推理, 实际 上是寻求它的充分条件; 综合法的特点是: 从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”, 其逐步推理, 实际上是寻找它的必要条件.,分析法与综合法各有其特点, 有些具体的待证命题, 用分析法或综合法均能证明出来, 往往选择较简单的一种. 平时我们常用分析法探索解题思路, 然后用综合法书写步骤.,3. 反证法 假设原命题_, 经过正确的推理, 最后得出_, 由此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫反证法.,不成立,矛盾,课前热身,3. (原创题)等差数列an中, a10, 且a3a1250, 则使an0的最小自然数n为_. 解析: an为等差数列, a3a1252a640, 即a640. 又a10, d0.a650. 答案: 65,答案: a0, b0且ab,考点1 综合法,【规律小结】 综合法是数学证明中常用的一种方法, 它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法, 即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发, 经过一系列的中间推理, 最后导出所要求证结论的真实性,备选例题 (教师用书独具) 【证明】 a、b、c0, a2b22ab, (a2b2)(ab)2ab(ab), a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2 a3b3a2bab2.,变式训练 1. (2011高考四川卷)已知an是以a为首项, q为公比的等比数列, Sn为它的前n项和. (1)当S1, S3, S4成等差数列时, 求q的值; (2)当Sm, Sn, Sl成等差数列时, 求证: 对任意自然数k, amk, ank, alk也成等差数列.,考点2 分析法,【名师点评】 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法, 就证明程序来讲, 它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方 法. 具体地说, 即先假设所要证明的结论是正 确的, 由此逐步推出保证此结论成立的充分条 件. 在利用分析法证明问题时应注意分析法的 书写格式.,备选例题(教师用书独具),变式训练,考点3 反证法,g(x0),【名师点评】 反证法体现了正难则反的思维方法, 用反证法证明问题的一般步骤是: (1)分清问题的条件和结论; (2)假定所要证的结论不成立, 而设结论的反面成立(否定结论); (3)从假设和条件出发, 经过正确的推理, 导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾).,备选例题(教师用书独具),变式训练 3. 设直线l1: yk1x1, l2: yk2x1, 其中实数k1, k2满足k1k220, 求证l1与l2相交.,方法技巧 1. 分析法的特点是: 从未知看需知, 逐步靠拢已知. 2. 综合法的特点是: 从已知看可知, 逐步推出未知.,3. 分析法和综合法各有优缺点. 分析法思考起来比较自然, 容易寻找到解题的思路和方法, 缺点是思路逆行, 叙述较繁; 综合法从条件推出结论, 较简捷地解决问题, 但不便于思考. 实际证题时常常两法兼用, 先用分析法探索证明途径, 然后再用综合法叙述出来.,4. 应用反证法证明数学命题, 一般分下面几个步骤: 第一步: 分清命题“pq”的条件和结论; 第二步: 作出与命题结论q相矛盾的假定非q; 第三步: 由p和非q出发, 应用正确的推理方法, 推出矛盾结果;,第四步: 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定非q不真, 于是原结论q成立, 从而间接地证明了命题pq为真. 第三步所说的矛盾结果, 通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.,失误防范 1. 利用反证法证明数学问题时, 首先假设结论错误, 并用假设命题进行推理, 没有用假设命题推理而推出矛盾结果, 其推理过程是错误的. 2. 用分析法证明数学问题时, 要注意书写格式的规范性, 常常用“要证(欲证)”“即要证” “就要证”等分析到一个明显成立的结论P, 再说明所要证明的数学问题成立.,命题预测 数学证明是每年必考的知识点之一, 考查重点是利用综合法、反证法证明问题, 题型大多为解答题, 难度为中、高档. 主要是在知识交汇点处命题, 如数列、立体几何的平行、垂直、不等式、解析几何等都有考查,在考查数学基本概念的同时, 注重考