《变化率与导数》PPT课件.ppt

1.1.1 变化率问题,甲和乙投入相同资金经营同一商品，甲用1年时间挣到2万元， 乙用5个月时间挣到1万元。 从这样的数据看来，甲、 乙两人谁的经营成果更好？,情境一：,情境二：,如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？,M,N,M,N,如何用数学模型刻画变量变化的快与慢？,就成为一个有待研究的数学问题.,变化率问题,探究（一）：气球的膨胀率,我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设气球的体积为V（单位：L），某一时刻的半径为r（单位：dm）.,1、气球的体积V与半径r的函数关系是什 么？,2、如果将半径r表示为体积V的函数， 则该函数的解析式是什么？,4、当空气容量V从1增加到2时，气球的 半径增加了多少？,r(2)r(1)0.16(dm)，,3、当空气容量V从0增加到1时，气球的 半径增加了多少？,r(1)r(0)0.62(dm)，,显然0.620.16,5、随着气球体积逐渐增大，气球的平均膨胀率如何变化？,平均膨胀率逐渐变小.,6.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,探究（二）：高台跳水的平均速度,1、运动员在0s到0.5s时段内的平均速度为多少？,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系： h(t)4.9t26.5t10.,2、运动员在1s到2s时段内的平均速度 为多少？,，运动员在该时段内是运动的。,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。,3、如何计算运动员在0s到 s时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,4、一般地，运动员在t1s到t2s时段内的平均速度如何计算？,5、在单位时段内，运动员的平均速度如何变化？,平均速度逐渐增大.,探究（三）：平均变化率,1、如果将上述两个问题中的函数关系用yf(x)表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？,令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则平均变化率可以表示为,(2) x 、 y 的值可正、可负，但x0，当y0时，平均变化率为零. 若函数f (x)为常函数时， y =0,(3)x是自变量的增加值，y是对应的函数值增量.,函数f(x)从x0到x0x的平均变化率.,2.代数式 表示的含义是 什么？,直线AB的斜率,A,B,连结点A（x1，f(x1)）和B（x2，f(x2)）的直线的斜率.,已知函数f(x)3x1和g(x)2x21，分别计算f(x)与g(x)在3到1之间和在1到1x之间的平均变化率,解：x1(3)2， yf(1)f(3) 3(1)13(3)1 6， 3， 即f(x)在3到1之间的平均变化率为3. x1(3)2， yg(1)g(3) 2(1)212(3)21 16， 8， 即g(x)在3到1之间的平均变化率为8.,已知函数f(x)3x1和g(x)2x21，分别计算f(x)与g(x)在3到1之间和在1到1x之间的平均变化率,yf(1x)f(1) 3(1x)1(311) 3x， 即f(x)在1到1x之间的平均变化率为3 yg(1x)g(1) 2(1x)21(2121) 4x2(x)2， 即g(x)在1到1x之间的平均变化率为 42x,已知函数f(x)3x1和g(x)2x21，分别计算f(x)与g(x)在3到1之间和在1到1x之间的平均变化率,B,2.求函数yx22x1在x2附近的平均变化率,练习：,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,做两个题吧!,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1) 求自变量的增量x = x2 x1 (2)求函数的增量 y=f(x2)-f(x1); (3)计算平均变化率,小结,3.自变量增量x的值可以是正数，也可以是负数，但x0；函数值增量y可以为任意实数，当y0时，平均变化率为零.,作业：练习册,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1) 求自变量的增量x = x2 x1 (2)求函数的增量 y=f(x2)-f(x1); (3)计算平均变化率,小结,3.自变量增量x的值可以是正数，也可以是负数，但x0；函数值增量y可以为任意实数，当y0时，平均变化率为零.,练习：,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,做两个题吧!,312 导数的概念,知识回顾,1.函数平均变化率：,2.函数平均变化率的几何意义：,表示曲线上两点连线(割线)的斜率,函数平均变化率是关于x的函数,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求 瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,1、,2、,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,1函数的变化率,x1，x2,点x0,瞬时变化率,f(x0)或y|xx0,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二化、三极限,考点一,求函数y2x24x在x3处的导数,练习:,1.求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求y=y=f(x)-f() =6x+(x)2 再求 再求,（2)求函数y=x2在x=1处的导数; (3)求函数 在x=2处的导数.,例2 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的