多元函数的极值及其应用.ppt

1,7-7 多元函数的极值及其应用,2,复 习,1. 隐函数求导公式,公式法：,直接法：,两边求导,这时若对x求导,把z看成x和y的函数,2.求隐函数 偏导的两个方法,3,一、多元函数的极值,二、多元函数的最值,三、条件极值,第七章,第七节,多元函数的极值及其应用,4,一、多元函数的极值,5,一、多元函数的极值,6,一、多元函数的极值,7,一、多元函数的极值,8,一、多元函数的极值,9,一、多元函数的极值,10,一、多元函数的极值,11,一、多元函数的极值,12,一、多元函数的极值,13,一、多元函数的极值,14,一、多元函数的极值,15,一、多元函数的极值,16,一、多元函数的极值,17,一、多元函数的极值,18,1、二元函数极值的定义,设函数,在点,的某个邻域内有定义，,对于,如果都适合不等式,如果都适合不,等式,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,19,1、二元函数极值的定义,说明：,1. 从几何上看，二元函数的极大值点是其图形的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点.,2. 由定义知：极值点应在定义区域内部取得，,而不能在边界上取得.,20,例1,(1),（椭圆抛物面）,例,(2),（圆锥曲面）,例,（双曲抛物面或称马鞍面）,(3),21,2、多元函数取得极值的条件,回顾：,一元函数取得极值的条件,定理,(必要条件),(费马定理),处取得极值,即：可导函数在极值点处导数必为零.,多元函数取得极值也有相似的必要条件,22,2、多元函数取得极值的条件,定理1,(必要条件),则在该点的偏导数必然为零，,证,都有,有,必有,类似可证,即,23,推广：,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，,驻点,极值点(可导函数),均称为函数的驻点.,（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）,24,驻点,极值点(可导函数),问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,又如,因函数在该点的偏导不存在.,1.驻点,2.偏导中至少有一个不存在的点.,所以，,如,点(0,0)是函数z=xy的驻点，,但不是极值点.,点(0,0)是函数,的极值点.,但点(0,0)并不是函数,的驻点，,极值点可能是：,25,定理2(充分条件),内连续，,且有一阶二阶偏导数，,又,令,且当,时有极大值，,当,时有极小值；,(2),时没有极值；,(3),时可能有极值，,也可能没有极值，,还需,另作讨论.,注意,该定理只适用于二元函数,不能推广到三元函数.,26,求出在定义区域内部的实数解,求函数,的极值的一般步骤：,第一步:解方程组,第二步:,求出二阶偏导数,的值A、B、C.,第三步:,再判断是否为极值.,得驻点.,对于每一个驻点,27,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,28,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,29,例2：求函数,解,解方程组,得驻点(1,1),(0,0),故所求函数的极值为:,对驻点,对驻点,所以函数在 处无极值.,的极值,所以，,30,注意：,(1)偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导,则,极值点可能是驻点,也可能是偏导数不存在的点.,(2)驻点要同时满足:,31,所以，(0,0)点不是函数的极值点.,又因函数处处可微，所以该函数没有极值点.,例3：,32,例4:,所以，函数不可能在原点取得极值.,33,解,34,求最值的一般方法：,与一元函数相类似，,二、多元函数的最值,求函数的最大值和最小值.,为最大值，,边界上的最大值和最小值相互比较，,将所有驻点处的函数值及在D的,的最大值和最小值.,其中最大者即,最小者即为最小值.,我们可以利用函数的极值来,35,有界闭区域D上连续函数的最值的步骤：,（1）找最值可疑点,D内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值 .,求二元函数在闭区域D上的最值,值就是所求的最值.,又知函数在D内可微,但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,且只有唯一驻点,则该点处的函数,往往比较复杂.,36,解方程组,例6,解,37,38,求出在定义区域内部的实数解,求函数,的极值的一般步骤：,