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1,型的方程,型的方程,型的方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,2,一、 型的方程,特点,是未知函数 y 的n 阶导数,且不含未知函数 y 及其,两边积分,接连积分n次,右端是,自变量x的一个已知函数,导数,左端,再积分,得到含有n个任意常数的通解.,3,例 求解方程,解,将方程积分三次,得,最后得到的就是方程的通解.,4,二、 型的方程,特点,方程缺y.,解法,将p作为新的,则方程变为,这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.,如果其通解为,则由,再积分一次,可求出原方程的通解,设,未知函数，,5,例 解方程,因方程中不含未知函数y,解,令,代入原方程, 得,p的可分离变量的一阶方程,由初始条件,知C1=4,所以,y的分离变量方程,6,再由初始条件,知C2 = 1,故所求解为,7,令,求出通解后,只须作变换,再积分k次,即可求得原方程的通解.,方程就可化为,阶方程,8,例 解方程,解,令,则方程变为,由分离变量法解得,于是,所以原方程的通解为,积分4次,可分离变量方程,9,特点,解法,方程缺自变量x,三、 型的方程,则,方程变成,这是关于变量y , p 的一阶方程.,设它的通解为,分离变量并积分,得通解为,设,10,解,代入原方程,原方程通解为,例,
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