高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：9.11球.ppt

第九章 直线、平面、简单几何体,球,第 讲,11,1. 与定点的距离_的点的集合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球的半径,与定点距离_的点的集合叫做球面. 2. 用一个平面截一个球,所得的截面是_,且球心与截面圆心的连线_截面. 3. 设球心到截面的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则三者的关系是_.,等于或小于定长,等于定长,一个圆,垂直于,R2=r2+d2,4. 球面被_的平面截得的圆叫做大圆，被_的平面截得的圆叫做小圆. 5. 经过球面上两点的大圆在这两点间的_的长度,叫做这两个点的球面距离. 6. 过球面上一点从北极到南极的半个大圆,与子午面所成的_的度数就是这个点的经度;过球面上一点的球半径与_所成的角的度数就是这个点的纬度. 7. 半径为R的球的体积是V=_，表面积是S= _.,经过球心,不经过球心,一段劣弧,二面角,赤道面,1.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是( ) A. B. C. D. 解：设球的半径为R， 则(2R)2=32+42+52=50，所以R= . 所以S球=4R2=50.,C,2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A. B. C. D. 解：因为AB=BC=CA=2， 所以ABC的外接圆半径为r= .设球的半 径为R，则 所以 ， 所以,D,3.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为( ) A. B. C. 2 D. 解法1：设球面上的3个点分别为A，B，C，球心为O.过O作OO平面ABC，O是垂足，则O是ABC的中心，则OA=r=2. 又因为AOC= ，OA=OC知OA = AC 2 OA.其次，OA是RtOOA的斜边，,B,故OAOA,所以OAOA2OA. 因为OA=R，所以2R4.因此， 排除A、C、D，故选B. 解法2：设球面上的3个点分别为A，B，C， 球心为O. 在正三角形ABC中， ABC的外接圆半径r=2. 应用正弦定理，得AB=2rsin60= . 因为AOB= ，所以侧面AOB是 正三角形，得球半径R=OA=AB= .,解法3：设球面上的3个点分别为A，B，C， 球心为O. 因为正三角形ABC的外接圆半径 r=2，故高AD= r=3，D是BC的中点. 在OBC中，BO=CO=R，BOC= ， 所以BC=BO=R，BD= BC= R. 在RtABD中，AB=BC=R， 所以由AB2=BD2+AD2， 得 ，解得R= .,1. 球面上有三点A、B、C，其中任意两 点间的球面距离都等于大圆周长的 ， 经过这三个点的小圆 的周长为4， 求这个球的表面积. 解：设O为球心，球半径 为R，经过A、B、C 三点的小圆半径为r.,题型1 球的表面积的计算,由已知，2r=4，所以r=2. 又因为A、B、C中任意两点的球面距离 都是大圆周长的 ，即 ， 所以AOB=AOC=BOC= . 又OA=OB=OC=R，所以AB=BC=AC=R. 在ABC中，由正弦定理， 得AB=2rsin60= ， 所以R= ，所以S球=4R2=48.,点评：求球的表面积的关键是求球的半径.求半径时，一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，通过解三角形来求得.,如图，A、B、C是表面积为 48的球面上三点，AB=2， BC=4，ABC =60，O为 球心.求直线OA与截面ABC 所成的角的大小. 解：连结AC，设O在 截面ABC上的射影是O， 则O为截面三角 形ABC外接圆的圆心，,连结AO，则OAO为直线OA与截面 ABC所成的角.设球的半径为R，小圆的半 径为r.因为球的表面积为48，所以R= . 在ABC中，由余弦定理，得AC2 = AB2 + BC2 -2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12 由正弦定理，得 ， 即 ，所以r=2. 所以 . 故所求角的大小为arccos .,2. 设A、B、C为球面上三点，AC=BC =6，AB=4，球心O到平面 ABC的距离等于球半径的 一半，求这个球的体积. 解：过球心O作OO1 平面ABC，则点O1为过 点A、B、C的截面圆的圆 心，即O1是ABC的外心. 连结CO1，延长交AB于M点.,题型2 球的体积的计算,因为AC=BC，所以M是AB的中点， 且CMAB.设O1M=x.因为O1A=O1C， 而 ， O1C=CM-O1M= 所以 ，解得x= . 所以O1A= 设球O的半径为R.由已知OO1=R2，OA=R. 在RtAO1O中，因为AO2=OO21+AO21， 所以 解得R= .,所以 点评：球的体积是关于半径的函 数，故求体积必须先求半径.涉及到 截面问题时，一般是化球为圆，再 解直角三角形可求得半径.,球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的 ，B和C之间的球面距离是大圆周长的 ，且球心到截面ABC的距离是 ，求球的体积. 解：设球心为O，由已知， 易得AOB = AOC= ，BOC= . 过O作ODBC于D，连结AD， 再过O作OE AD于E， 则OE平面ABC于E，所以OE= .,因为OAOB，OAOC， 所以OA平面BOC，所以OAOD. 设OA=R,则AB=AC=2R,BC=R， AD= R, OD= R. 在RtAOD中，由ADOE=OAOD, 得OA=R=1.所以 .,3. 在地球北纬30圈上有A、B两点，点A在西经10，点B在东经110，设地球半径为R，求A、B两点的球面距离. 解：如图，设O为球心，C为北纬30 圈所在小圆的圆心.由已知， ACB=120， AOC=BOC=60， OA=OB=R，OC平面ABC， 所以AC=BC=Rsin60= .,题型3 球面距离的分析与计算,在ACB中， 所以AB= R. 在AOB中， 所以AOB=arccos( ). 故A、B两点的球面距离是Rarccos( ).,点评：一般地，求球面上两点A、B间 的球面距离的具体步骤是： 计算线段AB(公共弦)的长； 计算A、B到球心O的张角； 计算球的大圆上A、B间的劣弧长.,正三棱锥P-ABC内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点从点P出发沿球面运动，经过A、B、C三点后返回P点，求所经路程的最小值. 解：设球心为O，据题意， O为正三角形ABC的中心， 且PO平面ABC，所以 POA=POC= ，AOB=BOC= . 因为球面上任意两点的球面距离是经过这两点的最短路程，其中P与A、P与C的球面距离是 ，A与B、B与C的球面距离是 ， 所以所求路程的最小值是,1. 正三棱锥P-ABC的外接球半径为R，两侧棱的夹角为，求这个正三棱锥的侧棱长. 解：如图，过点P作PD 平面ABC，垂足为D，则 D为ABC的中心.延长PD 交球面于E，则PE为球的直 径.连结AD、AE，则PAAE， ADPE.,设PAD=，则AED=. 设正三棱锥P-ABC的侧棱长为a， 由已知， 从而 又AD=PAcos=acos，所以 所以 在RtPAE中， PA=PEsin= . 故这个正三棱锥的侧棱长为 .,2. 如图，AC是四面体ABCD的外接球直径，BC是经过B、C、D三点的截面圆直径，球心O到截面BCD的距离等于球半径的 . (1)若CBD=60， 求异面直线AC和 BD的夹角; (2)若BDDC= 2， 求二面角B-AC-D的大小.,解：(1)过点C作CEDB交球面于E，连 结AE，则ACE为所求的角. 因为CBD=60， 所以BCE=60. 取BC的中点O， 则O为截面圆圆心. 设球O的半径为R，由已知OO= . 在RtCOO中 所以BC= R.因为BECE， 所以CE=BCcos60= .,因为AC是球的直径，所以AEEC. 在RtAEC中， . 故异面直线AC和BD的夹角为arccos . (2)过点D作DFBC，垂足为F. 因为OODF，所以DF平面ABC. 过点F作FHAC，垂足为H，连结DH. 依据三垂线定理，有DHAC. 所以DHF为二面角B-AC-D的平面角.,因为BDDC= 2，BC= R， BD2+DC2=BC2，所以 则DC= R，所以BD= DC= R. 因为DFBC=BDCD, 所以 因为ADCD，DHAC， 所以DHAC=ADCD.,而 所以 在RtDFH中,sinDHF= ， 所以DHF=60. 故二面角B-AC-D的大小为60.,3. 一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面 和侧面都相切.若平行于棱锥 底面且与球相切的平面截棱锥， 所得的截面是一个边长为b的正 方形，求这个球的表面积. 解：过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截 面，如图设O为球心，O1、O2 分别为截面和底面正方形的中 心，球与侧面的一个切点为C.,因为ACOAO1O BCOBO2O， 所以AOB=90. 又OCAB，由射影定理， 得OC2=ACBC. 又AC=AO1= ，BC=BO2= ， 所以OC2= ， 所以S球=4OC2=ab.,1