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文档简介
双曲线及其标准方程,1. 椭圆的定义,2. 引入问题:,复习,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),如图(A),,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B),,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得:,| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值),|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a,求曲线方程的步骤:,双曲线的标准方程,1. 建系.,以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点,设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式,|MF1| - |MF2|=2a,4.化简,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,(1)2a2c ;,平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,(2)2a 0 ;,双曲线定义,思考:,(1)若2a=2c,则轨迹是什么?,(2)若2a2c,则轨迹是什么?,说明,(3)若2a=0,则轨迹是什么?,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,若建系时,焦点在y轴上呢?,看 前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上,焦点的位置与分母的大小无关,2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?,1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?,问题,F(c,0),F(c,0),a0,b0,但a不一定大于b,c2=a2+b2,ab0,a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F(0,c),F(0,c),例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点, |PF1|=10, 则|PF2|=_,3,5,4,4或16,6,变式2答案,课本例3,写出适合下列条件的双曲线的标准方程,练习,1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, ),例3:如果方程 表示双曲线,求m的取值范围.,解:,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例4.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示,建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y),则,即 2a=680,a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.,解: 在ABC中,|BC|=10,,故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支,又因c=5,a=3,则b=4,则顶点A的轨迹方程为,变式: 圆的半径为,是圆内一定点,是圆上任意
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