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1,第二节 多元函数的概念,一、二元函数的定义与几何意义,例1,设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，,则长方形的体积,当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三元函数.,2,一、二元函数的定义与几何意义,例2,在西方经济学中，著名的CobbDouglas,生产函数为,L0，K0分别表示投入的劳力数量和资本数量，,y表示产量.,当K,L的值给定时，y就有一确定值与,之对应，因此称y是K,L的二元函数.,以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义.,这里 为常数，,3,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.,定义,一、二元函数的定义与几何意义,4,二元函数的图形通常是一张曲面.,二元函数的图形,5,再如,图形如右图.,例如,球面.,单值分支:,6,解,所求定义域为,例3,7,二、二元函数的极限,定义,8,证,证明,证毕,例4,恒有,无穷小乘以有界变量仍为无穷小.,9,例5,在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用.,10,例6,求,解,由基本不等式,知,由夹逼定理，,11,确定二重极限不存在的方法：,12,例7,解,沿 x 轴考察,沿 y 轴考察,13,三、二元函数的连续性,定义,一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.,例如，,内连续.,14,讨论函数,在(0,0)的连续性,例8,15,注意比较：,(见例6),讨论函数,在(0,0)的连续性,例8,16,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,例9,所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极限.,例10,17,二元连续函数的性质,（3）最值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值,（4）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.,（1）连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍
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