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第一节 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 四、小结 思考题,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）n维空间, n维空间的记号为,说明：, n维空间中两点间距离公式, n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,设两点为,（4）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,二元函数的定义域,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（） 二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,图型是球面.,单值分支:,二、二元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,注意：当P以不同的方式趋于P0点时，函数值趋于不同的值，则可断定P趋于P0时极限不存在。,确定极限不存在的方法：,例2 求证,证,二元函数与一元函数求极限的方法类似。,练习证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,三、二元函数的连续性,定义3,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,二元函数在其定义域区域内也是连续函数。,二元初等函数定义 可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成的。,一切二元初等函数在其定义域区域内连续。,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例8,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,因为，取,练 习 题,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不
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