2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程学案新人教A版.docx

第二章 圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课标解读1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程(难点)2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形(重点、易错点)1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且2a|F1F2|.2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c2知识点一椭圆的定义探究1：通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？提示得到一个椭圆(2)如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？提示当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平(3)绳长能小于两图钉之间的距离吗？提示不能探究2：根据探究1中对椭圆的认识及椭圆的定义探讨以下问题：(1)椭圆的定义中为什么要强调在平面内？提示去掉平面的限制后得到的是椭球体(2)如果已知椭圆方程及椭圆上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？提示能，根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为常数，如果已知椭圆上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上：1(ab0)焦点在y轴上：1(ab0)探究1：椭圆标准方程的推导过程遵循了求轨迹方程的哪些基本步骤，请完成下列填空(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P(m)；(3)用坐标表示条件P(m)，列出方程；(4)化方程为最简形式探究2：推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？提示将两个根号分开即移项，先变成2a，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)探究3：通过下列问题的探讨，进一步认识椭圆的标准方程(1)确定椭圆标准方程的关键是什么？提示确定参数a，b的值(2)求椭圆的标准方程时，设出椭圆方程的关键是什么？提示关键是先确定焦点的位置，若椭圆的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，不能遗漏求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)【自主解答】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21.(3)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得因为ab0，所以无解综上，所求椭圆的标准方程为1.规律总结1求椭圆方程的方法方法内容适合题型或条件定义法分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程动点满足|MA|MB|2a，且2a|AB|待定系数法由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数已知椭圆上的点的坐标已知焦点坐标或焦点间距离2.椭圆方程的设法技巧若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解析(1)解法一若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.解法二设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且F1PF230.求PF1F2的面积【自主解答】由已知可得a2，c1.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得：4(|PF1|PF2|)2(2)|PF1|PF2|即442(2)|PF1|PF2|.|PF1|PF2|12(2)SPF1F2|PF1|PF2|sin 3063.规律总结(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解2已知椭圆1(ab0)，F1，F2是它的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求ABF2的周长解析|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，则ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.题型三根据椭圆的标准方程求参数取值范围(1)若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为_(2)椭圆1中a2c，则k的值为_【解析】(1)原方程可化为1，因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得0k1.所以k的取值范围是0k且m1.答案易错防范1遗漏条件m2m1，易得出错误答案m.2必须明确形如方程1表示椭圆、圆的条件，如本例中，方程表示椭圆，首先应满足AB，其次应有A0，B0，事实上，当AB时，方程表示的曲线为圆而非椭圆已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围解析由于椭圆的焦点在y轴上，所以a2|m|1，b252m且a2b2，故解之得2m，m的取值范围是：2m.限时40分钟；满分80分一、选择题(每小题5分，共30分)1已知椭圆1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是A.1B.1Cx21 D.1解析由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2.a2246，因此椭圆方程为1，故选D.答案D2设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于A4 B5 C8 D10解析根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，故选D.答案D3“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析mx2ny21可化为1，因为mn0，所以0，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立答案C4已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长是A2 B6 C4 D12解析由椭圆的方程可得a，由椭圆定义可知，ABC的周长是4a4，故选C.答案C5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为A.1B.1或1C.1D.1或1解析由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2，b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.答案B6椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则PF1F2的面积等于A. B. C. D4解析如图所示，由定义可知，|PF1|PF2|2a4，c，又由PF1F1F2，可设点P的坐标为(，y0)，代入y21，得|y0|，即|PF1|，所以SPF1F2|PF1|F1F2|.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7已知(0，4)是椭圆3kx2ky21的一个焦点，则实数k的值是_解析由3kx2ky21，得1.(0，4)是椭圆的一个焦点，则c4，a2，b2，c216，k.答案8椭圆的两焦点为F1(4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案19已知椭圆y21的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当F1PF2为直角时，点P的横坐标x0_解析由椭圆的方程为y21，得c2，所以F1(2，0)，F2(2，0)，(2x0，y0)，(2x0，y0)因为F1PF2为直角，所以0，即xy4，又y1，联立消去y得x，所以x0.答案三、解答题(共35分)10(10分)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1F1F2，|EF1|，|EF2|，求椭圆C的方程解析因为点E在椭圆C上，所以2a|EF1|EF2|6，即a3.在RtEF1F2中，|F1F2|2，所以椭圆C的半焦距c.因为b2，所以椭圆C的方程为1.11(10分)已知椭圆C与椭圆x237y237的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若PC，且F1PF2，求F1PF2的面积解析(1)因为椭圆y21的焦点坐标为(6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为1(a236)将点的坐标代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)所以椭圆C的标准方程为1.(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|PF2|2a20.由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ，即122|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.因为|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|，所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|.所以1222023|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|.SPF1F2|PF1|PF2|sin .所以F1PF2的面积为.12(15分)已知点P(6，8)是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若0.试求(1)椭圆的方程；(2)求sinPF1F2的值解析(1)因为0，所以(c6)(c6)640，所以c10，所以F1(10，0)，F2(10，0)，所以2a|PF1|PF2|12，所以a6，b280.所以椭圆方程为1.(2)因为PF1PF2，所以SPF1F2|PF1|PF2|F1F2|yP80，所以|PF1|PF2|160，又|PF1|PF2|12，所以|PF2|4，所以sinPF1F2.2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课标解读1理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴长、短轴长(重点)2掌握椭圆的离心率e以及a、b、c的几何意义(难点)1椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)、A2(a，0)，B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)，B1(b，0)、B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c，0)、F2(c，0)F1(0，c)、F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e(0e1)2.椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响椭圆的离心率越接近于1 ，则椭圆越扁；椭圆离心率越接近于0 ，则椭圆越接近于圆知识点一椭圆的范围，对称点，顶点探究1：观察下列图形，回答以下几个问题：(1)已和椭圆方程讨论椭圆性质时，首先要关注椭圆的方程要满足什么形式？提示先看椭圆方程是否是标准形式，若不是标准形式要先化成标准形式(2)观察椭圆1(ab0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？提示由1，1得：axa，byb.(3)如图所示椭圆中的OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？提示a|B2F2|，b|OB2|，c|OF2|.探究2：观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆，探究下列问题，明确椭圆的几何特征(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？提示相同点：两图长轴长与短轴长分别相等；不同点：长轴与短轴所在位置不同(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？提示椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线知识点二椭圆的离心率探究1：观察图形，思考以下问题，明确椭圆离心率的实际意义(1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？提示发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同(2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？提示椭圆的离心率探究2：根据椭圆离心率的定义，探究以下问题，认识椭圆离心率对椭圆形状的影响(1)在a不变的情况下，随c的变化椭圆的形状如何变化的？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？提示a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁平c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁平(2)当同时改变a，c的值时椭圆的形状随的变化是如何变化的？提示的值越大，椭圆越扁平；的值越小，椭圆越圆；的值不变，椭圆形状不变已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标【自主解答】椭圆方程可化为1，m0，m，即a2m，b2，c .由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c，椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(1，0)，A2(1，0)，B1，B2.规律总结椭圆中基本量的计算方法(1)根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，从而准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关性质(2)在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；而有些则是与焦点所在坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置1求椭圆25x2y225的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标解析椭圆方程可化为x21，椭圆的焦点在y轴上，且a225，b21，c2a2b224，c2，a5，b1，长轴长为10，短轴长为2，焦点为(0，2)，顶点坐标为(1，0)，(0，5)(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是A.1 B.1C.1 D.1【自主解答】c1，a2，则b2a2c23，故C的方程为：1.【答案】D(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，求椭圆的标准方程【自主解答】设椭圆方程为1(ab0)，如图所示，A1FA2为等腰直角三角形OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb4，所以a2b2c232.故所求椭圆的标准方程为1.规律总结利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤(2)注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；(2)离心率e，焦距为12.解析(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程是1.综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1.(2)由e，2c12，得a10，c6，则b2a2c264.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1.设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_【解析】直线AB：xc，代入1，得y.A，B.kBF1.直线BF1：y0(xc)令x0，则y，D，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.【答案】规律总结求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围3(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为A1B2C. D.1解析由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.答案D(12分)已知椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围为(其中c2a2b2)，求椭圆离心率e的取值范围【审题流程】一个方程：椭圆M的方程已知一个关系：|PF1|PF2|的最大值的取值范围为求解e的取值范围，由点P在椭圆上可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|的最大值的取值范围，可将e与|PF1|PF2|联系起来【规范解答】因为P是椭圆上一点，所以|PF1|PF2|2a.(2分)所以2a|PF1|PF2|2，即|PF1|PF2|a2，当且仅当|PF1|PF2|时取等号(6分)所以c2a23c2，所以2，所以e22.因为e0，所以e.(10分)又因为0e1，所以eb0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解析设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：y2，所以y2axx2.又P点在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a2.又0e1，eb0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是A.B.C.D.解析2，|2|.又POBF，即，e.答案D5若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为A. B. C. D.解析a22，b2m.故c22m.e2.m.答案D6过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为A. B. C. D.解析解法一将xc代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|，又在RtF1PF2中F1PF260，所以|PF2|，根据椭圆定义得2a，从而可得e.解法二设|F1F2|2c，则在RtF1PF2中，|PF1|c，|PF2|c.所以|PF1|PF2|2c2a，离心率e.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7椭圆焦点在x轴上，O为坐标原点，A是一个顶点，F是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos OFA，椭圆的标准方程是_解析如图，椭圆长轴长为6，|AF|3，cos OFA，c2，b2a2c25.椭圆的标准方程为1.答案18已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，则长轴长的取值范围为_解析由e21，得01，从而1.于是1a24.故1a2，即22a4.答案(2，49若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_解析由题意，F(1，0)，设点P(x0，y0)，则有1，解得y3.因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yx0(x01)3x03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，所以当x02时，取得最大值236.答案6三、解答题(共35分)10(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程解析设椭圆方程为1(ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由得a2b.|PM|2x234b23(byb)，若0b，故矛盾若b，则当y时，4b237，b21，从而a24.所求方程为y21.11(10分)已知椭圆的焦点是F1(0，1)，F2(0，1)，离心率e.(1)求椭圆方程；(2)若P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解析(1)c1，e，a2，b2a2c23.又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，椭圆的方程为1.(2)由|PF1|PF2|2a4及|PF1|PF2|1知|PF1|，|PF2|，又|F1F2|2c2，cos F1PF2.12(15分)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解析解法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为，MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2| b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21，e.解法二设椭圆方程为1(ab0)，则M，代入椭圆方程，得1，所以，所以，即e.第2课时椭圆方程及性质的应用已知椭圆C：1，一个顶点为A(0，2)(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180得到椭圆D，求椭圆D的方程；(2)若椭圆C与直线ykxm(k0)相交于不同的M，N两点，且|AM|AN|，求m的取值范围【自主解答】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180得到椭圆D的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)所以|AM|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1得：1，1，用减去得：，所以k，再由垂直平分线的性质得，所以，所以y1y22，所以x1x23k(y1y2)6k，故MN的中点(3k，1)把ykxm代入椭圆C：1得，(13k2)x26kmx3m2120，所以x1x26k，所以m(13k2)，所以mx26kmx3m2120，由题意知，判别式大于0，即36k2m24m(3m212)0，m(m4)0，所以0m4，故m的取值范围为(0，4)规律总结直线与椭圆位置关系的判断方法1对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解析由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，b0)上的两个不同点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.2已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的方程解析(1)设椭圆C的长半轴长为a(a0)，短半轴长为b(b0)，则2b4，又由，解得a4，b2.因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为1或1.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y，得5x22mxm2160，由题意，得(2m)220(m216)0，且x1x2，x1x2.因为|AB|x1x2|，所以，解得m2，验证知0成立，所以直线l的方程为xy20或xy20.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值【解析】(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2。设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.(*)则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)(*)可知0b0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(kx10，点Q的坐标为(x1，y1)由BPM的面积是BPQ面积的2倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1.由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k，或k.当k时，x29b0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.求证：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解析(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，所以kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值限时40分钟；满分80分一、选择题(每小题5分，共30分)1椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点若|AB|8，则|AF1|BF1|的值为A10B12C16D18解析|AB|AF1|BF1|4a，|AF1|BF1|45812.答案B2直线ykxk1与椭圆1的位置关系是A相交 B相切 C相离 D不确定解析直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交故选A.答案A3过椭圆y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|A4 B2 C1 D4解析y21中a24，b21，c23，F2(，0)，将x代入y21，得y，故|AB|1.答案C4若点(x，y)在椭圆4x2y24上，则的最小值为A1 B1C D以上都不对解析表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率不妨设k，则过定点(2，0)的直线方程为yk(x2)由，得(k24)x24k2x4k240.令(4k2)24(k24)(4k24)0，得k，kmin，即的最小值为.答案C5已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若3，则|A. B2 C. D3解析设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21知a22，b21，c21，即c1.右焦点F(1，0)由3得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.将x0，y0代入y21，得1.解得n21，|.答案A6若直线mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为A至多一个 B2C1 D0解析依题意2，2.即m2n241故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是_解析由消去y，得3x24x20.设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，