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文档简介

第三节 全微分及其应用,一、全微分的定义,二、 可微条件,三、 小结 习题课,一、全微分定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,(1) 全增量的概念,如果函数 在点 的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一点，则称函数在这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量 的全增量，记为 ，即,(2) 全微分的定义,例如,在 平面上任取一点,时,函数值的增量为,取,（3）可微与连续之间的关系,事实上,反之成立吗？,例如，,在(0,0)处连续。,但是,无法表示成,的形式。所以函数,在(0,0)处不可微。,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,定理（充分条件)如果函数 的偏导数 、 在点 连续 ，则该函数在点 处可微分,习惯上，记全微分为,定理 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 的改变量可表示为,其中 和 是 和 的函数，且满足,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,解,所求全微分,解 因为,例2 (980305) 求函数 的全微分.,同理,所以,例3 证明函数,(1) 在(0,0)点连续；,(2),(3) 在(0,0)点可微.,证,(1) 令,则,(2),同理,所以,(3),不存在.,解 因为,处连续, 所以,存在。,成立，即,成立。,因为,多元函数连续、可导、可微的关系,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可导、可微的关系,（
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