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第五节 微分及其应用,一、微分的定义与几何意义 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、小结,一微分的定义与几何意义 1、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,3、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,4、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2求函数 在点x=0和x=1处的微分。,解,例3 设 ，求 。 解,例4,解,例5,解,3、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例7,解,例6,解,例8,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,三 微分在近似计算 1、函数的近似计算,(1)若函数yf(x)在点x0处可导，当自变量改变 x时，写出函数在点x0处的微分dy和函数改变量y,dyf(x0)x ,yf(x0x)f(x0),提问 在什么条件下可用dy近似代替y？为什么？ 因为dy和y相差一个比|x|变小的速度更快 的量，即 ydyax，,其中a满足,所以当|x|很小的时候，可用dy近似代替y，即 而|x|越小，近似程度越好,将(1)式移项，得 再令x0xx此时x为变量，则有 xxx0，所以(2)变成如下的形式,(1),(2),(3),例10 证明如下近似公式：（1） ；（2） 。 证 （1）令 ， ，当 时， ，由 得 ，即 （2）令 ， ，当 时， ，由 得 ，即 。,四、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,1.,2.,导数与微分的区别:,3.,所以这种说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出
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