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8.6 相空间和玻耳兹曼分布律 8.6.1 相空间和分布函数 8.6.2 玻耳兹曼分布律 *8.6.3 能量均分定理的证明 8.6.4 简谐振子的平均能量,8.6.1 相空间和分布函数,相空间：,分子的状态可以用分子的位置和速度（动量）作为独立变量来描述。,相空间体积元：,分子在任一时刻的运动状态，均可用相空间中的一个点来代表。,由位置和速度（动量）构成的空间,为描述分子同时按位置和按速度的分布，定义分子相空间分布函数：,或，分子的状态在相空间分布的概率密度。,N：系统的总分子数,归一化条件 ：,8.6.2 玻耳兹曼分布律,同时按位置和速度的分布？,近独立粒子系统：位置和速度相互独立，按概率乘法法则，有,分子的能量：,由归一化条件 ，得,平衡态系统中分子的相空间分布函数：, 玻耳兹曼分布律,体现统计物理学基本思想：把宏观量看成相应微观量的统计平均值,玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，适用于理想气体，也可用于实际气体、液体和固体等分子之间相互作用力不是很强的经典的热力学系统。,*8.6.3 能量均分定理的证明,分子在各个自由度上的动能，可以写成相应的平方项。,例如，刚性双原子分子的能量：,相空间体积元：,对各个能量平方项求统计平均，如果统计平均值都等于kT/2，就证明了能量均分定理。,以转动动能 为例，计算平均值。,类似地，对其他平方项求平均，结果也都等于kT/2。,能量均分定理的一般表述：在温度为T的平衡态系统中，分子能量表达式中每一个平方项对应的平均能量都等于kT/2。,分子中原子振动可看成简谐振动，一个振动自由度能量包括两个平方项：,振动自由度：,动能,u、：相对运动的速度、位移,，势能,、k：等效的质量、劲度系数,一个振动自由度对应的平均能量：,分子平均能量：,自由度 ：,t：平动；r：转动；s：振动,固体晶格点阵上原子沿三个互相垂直的方向作简谐振动，振动自由度s=3，其他自由度为零，原子振动的平均能量为3kT。,在温度为 T 的平衡态下，（mole）固体的内能：,8.6.4 简谐振子的平均能量,简谐振子：作简谐振动的系统,按照经典概念，简谐振子的能量连续变化，振子的平均能量 。,1. 简谐振子的能级,在12.6.2节将会看到，频率为 的一维简谐振子的能级：,普朗克常量：,实际上，简谐振子的能量是量子化的。,把h/2取为能量零点，简谐振子的能量只能是能量单元h 的整数倍：h、2h、3h、,2. 简谐振子的平均能量,在温度为T的平衡态下，频率为 的一维简谐振子的平均能量：,如果振子频率较低或系统温度较高,回到经典情况。,为什么？,证明：,由N个频率为的一维简谐振子组成的系统，达到温度为T的平衡态。,由归一化条件 , 求出,按玻耳兹曼分布律，系统中能量为n的振子数Nn与总振子数N的比值：,设
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