《风险态度已改》PPT课件.ppt

Decision Theory and Methods,决策理论与方法,国防科学技术大学 信息系统与管理学院 2012年3月6日 星期二,2,第五讲：风险态度,3,估计效用函数值的方法 离散型后果的效用设计 连续型后果的效用函数构造 用解析函数近似效用函数,1、效用函数的构造,4, 概率当量法 确定当量法 增益当量法 损失当量法 从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别；但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优后果(增益)的保守性和对损失的冒险性都比概率当量法严重(Hershey，1982)；采用增益当量法与损失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只要有可能，应该尽可能使用概率当量法。,1.1 估计效用函数值的方法,5,（1）概率当量法 若 ， ，则存在 ，使 也就是说存在 ，使 由于确定性的后果 ，所以对确定性后果，式亦为 上式的含义是确定后果与一个随机性后果的展望无差异，这个展望以概率获得x1，以概率1-获得x3. ，通过概率当量值去设定三个后果之间的偏好关系，并因此设定效用值的做法称为概率当量法。因为它直接从von Neumann-Morgenstern公理导出，所以又称NM法。,6,面对一博弈：以概率 赢1000元，以概率1- 损失1000元，假设损失1000元的效用为-10，那么可得到怎样的一个概率，使该博弈与确定性的0之间无差异?,即 0G(, 1000; -1000: 1-) 或 U(0)= U(1000)+(1- )U(-1000) 假设赢1000元概率为0.6，0的效用为0，将 U(-1000)=-10， =0.6到上式，解得：,概率当量法举例,7,(2)确定当量法 若对于确定的x1，x3，取=0.5（或取0与1之间的其它值），则上式即为 由式确定0.5x1+0.5x3的确定当量x2；再令u(x1)=1，u(x3)=0，则后果x2的效用等于0.5。这种方法称为确定当量法，又称修正的NM法。 （3）增益当量法 在决策中，通常将最优后果称为增益，将最差后果称为损失。若已知确定后果和最差后果，可以应用概率当量法中的公式确定最优结果。 （4）损失当量法 若已知确定结果和最优结果，则可以应用上述公式确定最差结果。,两人一组，其中一个人作为决策人，另一个作为决策分析人员，设定钱对决策人的效用，并画出效用曲线；完成后互换角色。,给定决策人的资产为w 分x(货币)轴为三个区间： (-w, -w/2); (-w/2, 0); (0, w) (0, w)区间用确定当量法 (-w/2, 0)区间先用概率当量法，再用确定当量法 (-w, -w/2)同上,角色互换,9,后果为离散型随机变量时，后果集C中元素为有限个，构造后果集上的效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。 离散型后果效用值的设定可以采用概率当量法，简称NM法。,1.2 离散型后果的效用设计,10,第一步：c1，c2C使c2 c1，令u（c1）=0，u（c2）=1，所选择的c1、c2应使后果优劣的比较易于进行。 第二步：对c2 c3 c1求a（0a1），使得c3ac2+（1-a）c1，则u（c3）=u（ac2+（1-a）c1）=au（c2）+（1-a）u（c1）。 第三步：若c1 c4 求a（0a1），使c1ac2+（1-a）c4，则u（c1）=u（ac2+（1-a）c4）=au（c2）+（1-a）u（c4），所以u（c4）=a/（a-1）。 第四步： c5 c2 ，求a（0a1），使c2ac5+（1-a）c1，则u（c2）=u（ac5+（1-a）c1）所以u（c5）=1/a。 第无步：一致性检验 设c5 c4c3且c3、c4、c5已知，由c4ac5+（1-a）c3，可求得u（c4）。若其与已知的u（c4）不符，则反复进行第二和第四步，直到通过一致性检验。,11,例 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。,首先作该问题的决策树。由题意可知决策人对四种后果优劣的排序是：c2c3c4c1。,1.2 离散型后果的效用设计,12,第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。 第二步: 询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是0.3，则c30.7 c2+0.3c1，u(c3)0.7u(c2) 0.7。 第三步:询问决策人，无雨看电视这种后果与去球场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是0.6，则c40.4c2+0.6c1，得u (c4)0.4c20.4。 第四步: 进行一致性校验。c30.4c2+0.6c4，则u(c3)=0.640.7。重复二、三，若u(c3)不变，则调整u(c4)=0.5，决策人仍认为c30.4c2+0.6c4，则通过校验。,1.2 离散型后果的效用设计,13,当后果c为连续变量时，上述方法就不适用。 但是如果能通过分析找到u(c)的若干特征值，求特征点的效用后，再连成光滑曲线； 或u(c)是连续、光滑的，则可分段构造u(c)。,1.3 连续型后果的效用函数构造,14,随着学习时间的增加，效用值也会有所增加 但是由于进入状态需要一定的时间，所以在t较小时，效用的增加较慢； 过了一小段时间后，效用与所化时间基本上是线性关系； 随着学习时间的不断增加，人会疲劳，效率会下降； 时间太长，这时的效果不如时间适度，即存在效用值最大的点tm； 再增加学习时间又会从效用最大值处下降。其中与效用最大值对应的tm是因人而异。 由于效用函数的惟一性(即在正线性变换下惟一，见效用的公理化定义)，效用的值域可以是整个实轴，而不必限于0,1区间。,每天的学习时间与效用,15,为了分析和运算方便，分析人员通常希望能够用某种解析函数式u(x)来近似地表达效用。 常用的函数有幂函数和对数函数。,1.4 用解析函数近似效用函数,某厂考虑两种生产方案：产品A可以0.3的概率获利5万，以0.2的概率获利8万，以0.5的概率获利9万元；产品B肯定可以获利8万元，决策人甲的效用函数u1（x）=x；决策人乙的效用函数： 1.画出两个决策人的效用函数曲线，求甲、乙两个决策人分别做出何选择？ 2 若生产A、B均需另加5万元的固定成本，甲、乙两个决策人又该作何选择？,课堂讨论,17,风险包含有两方面的内容： (1)后果损失的严重程度； (2)出现损失的可能性大小。 可采用以下几种指标来度量风险。,2、风险与效用,18,设方案a的后果为收益y，y的概率密度函数为f（y），期望值为y，则方差 在用方差度量风险时，方差越大风险也越大。,2.1 风险的度量指标,19,（2）自方差 当注意力集中在可能的损失时，可以用自方差s2度量风险 式中，c为决策人设定的临界值，即决策人把效益小于c的部分看做风险，用自方差具有集中研究风险的优点，但是并不可靠。,2.1 风险的度量指标,20,临街概率的定义为 它是临界c以下的概率密度函数的面积，所描述的是企业破产、倒闭等状况的概率，可以直接解释风险的含义，这种定义容易被企业负责人理解并接受。但是这种描述仍然比较粗略，,2.1 风险的度量指标,21,Fishburn(1977)提出把风险的自方差定义和临界概率定义结合起来，用下式作为风险的定义： 当a=2时上式就是自方差；a=0时上式为临界概率。,2.1 风险的度量指标,22,如果效用函数是严格向下凹，则是风险喜好者。 UE(W)EU(W),2.2 对风险的态度,23,如果效用函数是线性的，则是风险中性者。 UE(W)=EU(W),2.2 对风险的态度,24,如果效用函数是严格向上凸的，则是风险厌恶者。 UE(W)EU(W),2.2 对风险的态度,25,互动游戏,26,为避免一个博弈，此人愿意放弃的财富的最大数值，被称为风险酬金(risk premium)。,2.3 风险酬金,1 把一副扑克牌的4张A取出，牌面向下洗匀后排在桌面上。你可以从下列两种玩法中人选一个： （1）先任意翻开一张再决定；（a）付出35元，叫停；或者（b）继续翻第二张，若第二张为红，你可以收入100元，第二张为黑则付出100。 （2）任意翻开一张，若次牌为红可以收入100元，为黑则付出100元。 画出此问题的决策树。 设某决策人的效用函数为u=ln(1+0.005x)，他应该选择哪种玩法？,课堂讨论,对数效用函数：U(W)=Ln(W) 博弈G(5, 0.8; 30, 0.2) 博弈的期望财富是： E(G)=0.8($5)+0.2($30)=$10 期望财富的效用值：UE(G)=2.3,财富效用的期望值： EU(G)=0.8U($5)+0.2U($30)=1.97 UE(G) EU(G)，风险回避者。 $7.17为G的确定等量财富数额。,为了避免博弈，愿意放弃： E(W)-W*=10-7.17元=2.83元。,32,设某人现有积蓄为0，增加1000元对此人的作用(价值)与有了1000元后再加1500元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。,2.4 对后果的偏好强度,33,若询问货币后果对这个决策人的实际价值即效用时，决策人认为 1000元(0.5,0; 0.5,2500) 则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化，这就是可测价值函数。,2.4 对后果的偏好强度,34,定义3.3 与弱序一致的序数价值函数： 设方案集A=a1,a2an，P是定义在A上的决策人的弱序，若A上的实值函数v满足： 则称v为与弱序P一致的序数价值函数。 定理3.3 对有限方案集A=a1,a2,an和弱序P，总可以构造一个与该弱序一致的序数价值函数v。,2.5 可测价值函数,35,定义3.4 可测价值函数： 在后果空间X上的实值函数v，对w，x，y，zX，有 且V对正线性变换是唯一确定的。则称v为可测价值函数。如下图所示：,2.5 可测价值函数,36,决策人的真实的风险态度被称作相对风险态度(relative risk attitude)。设效用函数u和可测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。 1效用函数反映的风险的局部测度 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(x)=-u”(x)/u(x) = 0 u在x 处线性, 风险中立 0 在x处有递减的边缘价值 m(x)=-v”(x)/v(x) =0 在x处有不变的边缘价值 m(x) ，称为在x 处相对风险厌恶 r(x)m (x)，称为在x 处相对风险中立 r(x)m(x) ，称为在x 处相对风险追求,2.6 相对风险态度,37,货币效用的基本性质： (1)单调递增且有界； (2)钱数较少时，u(x)近乎线性； (3)x0时， u(x)通常是凹的； (4)x0与x0处的形状不同； (5)钱对决策人的效用函数通常是随诸多因素的改变而变化的。,2.7 货币的基本效用,38,给定决策人的资产为w 分x(货币)轴为三个区间： (-w, -w/2); (-w/2, 0); (0, w) (0, w)区间用确定当量法 (-w/2, 0)区间先用概率当量法，再用确定当量法 (-w, -w/2)同上,2.7 货币的效用函数的构造,39,（1）（0，1000）区间的效用函数值的设定 设定（0，1000）区间效用函数可以用确定当量法。 取x3=0，x1=1000，并令u（0）=0，u（1000）=1，就可以用式（3.11）确定效用值等于0.5的x2： X2（0.5，0；0.5，1000） 比如说，x2=300，它与0，1000机会各半相当，因此u（300）=0.5。 根据同样的思路，可以设定（0，1000）区间内与其他效用值对应的后果值。假设他接着决定： 1000.5（0）+0.5（300）即100（0.5，0；0.5，300） 则u（100）=0.5u（0）+0.5（300）=0.5*0.5=0.25.。 5000.5（300）+0.5（1000），即500（0.5，300；0.5，1000） 则u（500）=0.5u（300）+0.5u（1000）=0.5*0.5+0.5*1=0.75,2.7 货币的效用函数的构造,40,（2）（-500，0）区间 在（-500，0）区间可以先用NM法即式（3.11）：x2ax1+（1-a）x3求-500的效用值。令x1=500，x2=0，x3=-500；由决策人确定当a取什么值时上式成立。假设决策人认为：0（0.4，-500；0.6，500）则u（0）=0.4u（-500）+0.6u（500）因此u（0）=0，则可知u（500）-1.06.在用修正的NM法：x2（0.5，-500；0.5，0）确定x2=-200，则u（-200） -0.53. （3）（-1000，-500）区间 用NM法，令x2ax1+（1-a）x3中x2=-500，x1=0，x3=-1000；由决策人认为： -500（0.35，-1000；0.65，0） 则u（-1000 -3.03。 如果有必要还可以设定（-1000，-500）区间中其他后果的效用值。 根据（2），（3）中的结果可以得到效用函数的左半部分。,2.7 货币的效用函数的构造,41,2.7 货币的效用函数的构造,1 把一副扑克牌的4张A取出，牌面向下洗匀后排在桌面上。你可以从下列两种玩法中人选一个： （1）先任意翻开一张再决定；（a）付出35元，叫停；或者（b）继续翻第二张，若第二张为红，你可以收入100元，第二张为黑则付出100。 （2）任意翻开一张，若次牌为红可以收入100元，为黑则付出100元。 画出此问题的决策树。 设某决策人的效用函数为u=ln(1+0.005x)，他应该选择哪种