《matlab符号计算g》PPT课件.ppt

2019/6/10,1,MATLAB符号计算,2019/6/10,2,符号对象 符号微积分 级数 符号方程求解,2019/6/10,3,1 符号对象 1.1 建立符号对象 1. 建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。,2019/6/10,4,(2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2019/6/10,5,2. 建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,2019/6/10,6,1.2 符号表达式运算 1. 符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。 2. 符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,2019/6/10,7,3. 符号表达式的因式分解与展开 MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为： factor(s)：对符号表达式s分解因式。 expand(s)：对符号表达式s进行展开。 collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。,2019/6/10,8,4. 符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s):应用函数规则对s进行化简。 r,how=simple(S) :通过对表达式尝试多种不同的算法进行化简，以寻求符号表达式S的最简形式;r为返回的简化形式，how 为化简过程中使用的主要方法，simple 函数综合使用了下列化简方法： simplify函数对表达式进行化简； simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,2019/6/10,9,radsimp函数对含根式的表达式进行化简; combine 函数将表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并； collect 合并同类项； factor 函数实现因式分解; convert 函数完成表达式形式的转换.,2019/6/10,10,5. 符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,2019/6/10,11,MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,1.3 符号表达式中变量的确定,2019/6/10,12,在MATLAB中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，由于i和j通常表示虚数单位，在符号运算中不能作为自变量。,2019/6/10,13,1.4 符号表达式的替换 MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs, 可以通过符号替换使表达式的输出形式简化，以得到一个简单的表达式。,2019/6/10,14,将表达式中重复出现的字符串用变量代替的函数为subexpr,其调用格式为： Y,SIGMA=subexpr(S,SIGMA) 此函数用变量SIGMA（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。,2019/6/10,15,函数subs是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：R=subs(S,old,new)， 它可用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的old. 当new为数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。,2019/6/10,16,1.4 符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,2019/6/10,17,2 符号微积分 2.1 符号极限 limit函数的调用格式为： (1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。 (2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,2019/6/10,18,(3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。 (4) limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,2019/6/10,19,例-1 求下列极限。,clear %极限1 syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); A=limit(f,x,a) %极限2 syms x t; B=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) %极限3 syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); C=limit(f,x,inf,left) %极限4 syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); D=limit(f,x,2,right),2019/6/10,20,2.2 符号导数 diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为： diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。,2019/6/10,21,diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。 diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,2019/6/10,22,例2 求a t3; tcos(x) lnx对x的一阶导数、对t二 阶导数、二阶混合导数 clear syms a t x; f=a t3;t*cos(x),log(x); df=diff(f) dfdt2=diff(f,t,2) dfdxdt=diff(diff(f,x),t),2019/6/10,23,2.3 符号积分 符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为： int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。 int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。,2019/6/10,24,int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,2019/6/10,25,%(1)积分指令对符号函数矩阵的作用 syms a b x; f=a*x,b*x2;1/x,sin(x); int(f) disp(The integral of f is); pretty(int(f) %以习惯的书写方式显示表达式 %(2)内积分上下限都是函数 clear syms x y z F2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2) digits VF2=vpa(F2) %积分结果用32位数字表示;因为vpa(x)表示在digits指定精度下，给出x的数值型符号结果 VVF2=vpa(F2,4),例3 求积分,2019/6/10,26,2.4 积分变换 常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。 1. 傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,2019/6/10,27,例4 求函数的傅立叶变换及其逆变换。 clear syms x t; %需注意使用符号函数定义 f=exp(-x2); F=fourier(f,x,t) %求函数f的傅立叶像函数F f=ifourier(F,t,x),2019/6/10,28,2. 拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是: laplace(fx,x,t):求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x):求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,2019/6/10,29,例5 计算y=x3的拉普拉斯变换及其逆变换。 clear syms x; y=x3; Y=laplace(y) y=ilaplace(Y),2019/6/10,30,3 级数 3.1 级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,2019/6/10,31,求,clear syms k t; f1=t k3; f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k; s1=symsum(f1) s2=symsum(f2,1,inf) %simple(s1) %simple(s2),2019/6/10,32,3.2 函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor(f):计算符号表达式f在默认自变量等于0处的5阶Taylor级数展开式。 taylor(f,n,v):计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式。 taylor(f,n,v,a):计算符号表达式f在自变量v=a处的n-1阶Taylor级数展开式,2019/6/10,33,例8 求函数的泰勒级数展开式。,clc clear %分别计算表达式的5阶Taylor级数展开式和另一个表达式的5阶及12阶Taylor级数展开式。 syms x f=1/(5+cos(x); r=taylor(f) f=exp(x*sin(x); r=taylor(f) r=taylor(f,13) %求函数在指定点的泰勒级数展开式 r=taylor(f,5,x,3),2019/6/10,34,4 符号方程求解 4.1 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。 solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。,2019/6/10,35,求方程组uy2+vz+w=0,y+z+w=0关于y,z的解 clear S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z) %两个表达式可以只用一个单引号 %(1)S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,z,y) 在此，指定变量次序没有影响 %(2)S=solve(u*y2+v*z+w,y+z+w,z,y) z,y中，y前不能有空格 %(3)syms y z u v w,S=solve(u*y2+v*z+w,y+z+w,z,y) %(4)y,z=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z) 输出宗量次序正确，解才正确 %S是一个构架数组，如要显示结果，必须采用援引方式，如例题所示 disp(S.y) disp(S.y) disp(S.z) d