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文档简介

曲面及其方程,第四节,在平面解析几何中我们将曲线看成动点的轨迹，,在空间解析几何中我们将曲面看成按一定规律运动,的动点的轨迹,1. 曲面方程的概念,(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程；,(2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；,对曲面我们讨论的基本问题是：,（1）根据实际问题，建立曲面的方程；,（2）已知曲面方程，研究曲面的形状,一、曲面方程的概念,下面给出几例常见的曲面的方程,面,面,同理,x = a 表示平行于 yoz 面， 且在 x 轴上截距为 a 的平面,y = b 表示平行于 zox 面， 且在 y 轴上截距为 b 的平面,注意与平面解析几何的区别,平行于 xoy 面,且在 z 轴上截距为 c 的平面,解,根据题意有,故所求方程为,上述方程称为球面的标准方程，,其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零,方程 (*) 称为球面的一般式方程，,经配方后可化为球面的标准方程,将其展开有,特别地：球心在坐标原点时，,球面方程为,解,根据题意有,化简得，所求曲面方程为,的点的全体所组成的曲面方程,例2,1. 定义,一平面曲线绕该平面上的一条定直线旋转,(定直线称为旋转轴),一周而成的曲面称为旋转面,二、旋转面及方程,例如,球 面,圆锥面,2. 坐标面上的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转面方程,由曲面生成的,得所求旋转面方程,的条件知：,解,所以所求圆锥面的方程为,旋转面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，,例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，,旋转双曲面,求生成的旋转曲面的方程,旋转椭球面,注意,旋转抛物面,1. 定义,抛物柱面,平面,曲面，称为柱面,例如,三、柱面及方程,N,(x, y, 0),S,2. 母线平行于坐标轴的柱面方程,抛物柱面,平面,注意,z 轴,例如,椭圆柱面 母线 / 轴,双曲柱面 母线/ 轴,抛物柱面 母线/ 轴,其在 yoz 面上的准线为,其在 xoy 面上的准线为,其在 zox 面上的准线为,a,b,椭圆柱面,母线 / z 轴，,y,o,双曲柱面,母线 / y 轴，,抛物柱面,母线 / z 轴
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