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文档简介
一、无穷限的广义积分,第四节 广义 积 分,二、无界函数的广义积分,一、无穷区间的广义积分,例 1 求由曲线 y = e-x,,y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.,解 这是一个开口曲边梯形,,为求其面积,任取 b 0, + ),,在有限区间 0, b 上,,以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为,b,即,当 b + 时,阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积,,定义 1 设函数 f (x) 在 a, + )上连续,,取实数 b a,,如果极限,则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间a, + ) 上的广义积分,,这时也称广义积分收敛,,记作,即,存在,,否则称广义积分发散.,定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b 上连续,,取实数 a b,,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b 上的广义积分,,这时也称广义积分收敛,,记作,即,存在,,否则称广义积分发散.,定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续,,且对任意实数 c,,如果广义积分,则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分,,这时也称广义积分收敛,,记作,即,都收敛,,否则称广义积分发散.,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,并记,则定义 1,2,3 中的广义积分可表示为,例 2 求,解,例 3 判断,解,由于当 x + 时,sin x 没有极限,所以广义积分发散 .,例 4 计算,解 用分部积分法,得,例 5 判断,解,故该积分发散.,例 6 证明广义积分,当 p 1 时,收敛;当 p 1 时,发散 .,证 p = 1 时,则,所以该广义积分发散.,当 p 1 时,,综合上述,,该广义积分收敛.,当 p 1 时,,该广义积分发散.,p 1 时,则,二、无界函数的广义积分,定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b 上连续,,取 e 0 ,,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b 上的广义积分,,这时也称广义积分收敛,,否则称广义积分发散.,且,记作,即,存在,,定义 5 设函数 f (x) 在区间 a, b) 上连续,,取 e 0 ,,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在区间 a, b) 上的广义积分.,这时也称广义积分收敛,,否则称广义积分发散.,且,即,存在,,定义 6 设函数 f (x) 在 a, b上除点 c (a, b) 外连续,,如果下面两个广义积分,则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区间 a, b 上的广义积分,,这时也称广义积分收敛,,否则,称广义积分发散.,记作,即,都收敛,,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,,则定义 4,5,6 中的广义积分可表示为,例 7 判断,解,故积分收敛.,-,例 8
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