和分布、大数定律、中心极限定理.ppt

,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的联合分布?,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r =0,1，,例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,一、连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,教材上例5 请自已看. 注意此例的结论：,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,从前面例4可以看出， 在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.,若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理 .,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，则,虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ +Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.,第二章中介绍的棣莫佛拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况.,定理(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,则对任意的0，,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.,定理2（独立同分布下的大数定律）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,下面给出的贝努里大数定律，是定理2的一种特例.,贝努里,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,于是有下面的定理：,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理3（贝努里大数定律）,或,贝努里,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律,当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的