平面向量的数量积及平面微量应用举例.ppt

一、两个向量的夹角,注意：同一起点 三角形中应用,二、向量数量积,规定：,思考：投影是数量可以为零、负数、正数,三、向量数量积的性质（以下都是非零向量）,四、数量积的运算律,数量积的运算律不成立：,3.|a| .,五、数量积的坐标运算 设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 1.ab .,a1b1a2b2,2.ab .,a1b1a2b20,4.cosa，b .,重要结论：,线性运算的三角形法则,1.已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5 ，则|b|( ) A. B. C.5 D.25,解析：|ab|2a22abb2520b250， b225，|b|5.,答案：C,2.已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是 ( ),解析：a(ba)aba22，ab2a23. cosab a与b的夹角为 .,答案：C,3.已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b， c(ab)，则c ( ),解析：设c(x，y)，则ca(x1，y2)， 又(ca)b，2(y2)3(x1)0. 又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 解得,答案：D,x= y=,4.已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数 .,解析：(ab)b， (ab)babb2150，,=-,答案：,5.已知向量a、b的夹角为45，且|a|4，( ab)(2a3b) 12，则|b| ；b在a方向上的投影等于 .,解析：ab|a|b|cosa，b4|b|cos452 |b|， 又( ab)(2a3b)|a|2 ab3|b|2 16 |b|3|b|212， 解得|b| 或|b| (舍去). b在a上的投影为|b|cosa，b cos451.,答案：,1.当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及 |a|，|b|或得出它们的关系. 2.若已知a与b的坐标，则可直接利用公式,【注意】 平面向量a、b的夹角0，.,cos=,已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ， 求：(1)a与b的夹角； (2)ab与ab的夹角的余弦值.,(1)由(ab)和(ab)的数量积可得出|a|、|b|的关系.(2)计算ab和ab的模.,【解】 (1)(ab)(ab) ，|a|2|b|2 ， 又|a|1，|b| 设a与b的夹角为，则cos 又0， ,(2)(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb212 |ab| ，设ab与ab的夹角为，,1.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2). (1)若|c|2 ，且ca，求c的坐标； (2)若|b| ，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.,解：(1)设c(x，y)，由ca和|c|2 可得 c(2,4)或c(2，4). (2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0， 即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20， 253ab2 0，ab ， cos 1，0，.,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2a2aa； (2)|ab|2a22abb2； (3)若a(x，y)，则|a|,已知向量a ，b(cos ，sin )，且 (1)求ab及|ab|； (2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值.,cos x,sin x,利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|ab|时注意x的取值范围.,【解】 (1)ab sincos2x， |ab| 2|cosx|， x ，cosx0， |ab|2cosx.,当cosx 时，f(x)取得最小值 当cosx1时，f(x)取得最大值1.,(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx1,2.(2009湖北高考)已知向量a(cos，sin)，b(cos， sin)，c(1,0). (1)求向量bc的长度的最大值； (2)设= 且a(bc)，求cos的值.,解：(1)法一：由已知得bc(cos1，sin)，则 |bc|2(cos1)2sin22(1cos). 1cos1，0|bc|24，即0|bc|2. 当cos1时，有|bc|max2， 所以向量bc的长度的最大值为2. 法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2. 当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2， 所以向量bc的长度的最大值为2.,(2)法一：由已知可得bc(cos1，sin)， a(bc)coscossinsincos cos()cos. a(bc)，a(bc)0，即cos()cos. 由 ，得cos( )cos ， 即 2k (kZ)， 2k 或2k，kZ， 于是cos0或cos1.,法二：若 ，则a 又由b(cos，sin)，c(1,0)， 得a(bc) (cos1，sin) a(bc)，a(bc)0，即cossin1. sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0， 解得cos0或cos1. 经检验，cos0或cos1即为所求.,cos+,sin+,1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线) 的充要条件： ababx1y2x2y10(b0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0x1x2y1y20.,已知向量a(cos()，sin()， b(cos( )，Sin( ) (1)求证：ab； (2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b， ykatb，满足xy，试求此时 的最小值.,(1)可通过求ab0证明ab. (2)由xy得xy0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值.,【解】 (1)abcos()cos( )sin() sin( )sincossincos0. ab. (2)由xy得：xy0， 即a(t23)b(katb)0， ka2(t33t)b2tk(t23)ab0， k|a|2(t33t)|b|20. 又|a|21，|b|21， -k+t3+3t=0k=t3+3t.,故当 时， 有最小值,=t2+t+3=,t=-,3.已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点. (1)若 ，求tan的值； (2)若 ，求sin2的值； (3)若 且(0，)，求 的夹角.,解：(1) (0,3)(3,0)(3,3). 3cos3sin0， 即sincos0，tan1. (2) (cos，sin3)， 即(cos3)cossin(sin3)0， 13(cossin)0，sincos 两边平方得1sin2,sin2=,(cos 3 ，sin)，,(3cos)2sin213，cos 又(0，)， 设 的夹角为，则 又0，,(3cos,sin),=,sin=,从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题.在高考中直接考查以选择题或填空题为主，有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题.2009年江苏卷15题考查了向量与三角函数相结合的题目，代表了高考的一种考查方向.,(2009江苏高考)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin). (1)若a与b2c垂直，求tan()的值； (2)求|bc|的最大值； (3)若tantan16，求证：ab.,解 (1)因为a与b2c垂直， 所以a(b2c) 4cossin8coscos4sincos8sinsin 4sin()8cos()0， 因此tan()2.,(2)由bc(sincos，4cos4sin)，得 又当 时，等号成立， 所以|bc|的最大值为 (3)证明：