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文档简介

例题选讲,解 A表示“三本书放在一起”,总的基本事件数为,A的有利事件数为,所以,A事件的概率为,例1 将10本书任意地放在书架上,求其中指定的三本 书放在一起的概率。,解1 A表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A事件要发生,则至少应取一个5分硬币,否则 最多只可得8分钱,所以,A事件的概率为,A事件的有利事件数为,例2 袋中有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币, 从中任取5个,求钱额总和超过一角的概率。,解2 A表示“钱额总和超过一角”,总的基本事件数为,A事件要发生,则至少应取一个5分硬币,两个 2分硬币,否则最多只可得9分钱,所以,A事件的概率为,A事件的有利事件数为,错误 A表示“钱额总和超过一角”,实验的样本空间为5分,6分,16分, 共12个样本点,A事件包含11分,12分,16分等6个样本点,所以,A事件的概率为,错误分析:实验为任取5枚硬币,每枚硬币被 取到的机会均等,但是,钱额总和为5,6, 16的机会是不均等的,样本空间的形成不对。,例3 从12000中随机取一整数,问取到的整数 能被6或8整除的概率是多少?,解 总的基本事件数为,设A表示“取到的数能被6整除” , B表示“取到的数能被8整除” ,则,所求概率为,讨论,把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前 三个盒当中有空盒的概率.,解 设 表示第 个盒空着,则所求概率为,讨论,把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前 三个盒当中有空盒的概率.,另解 设A表示“前三个盒中有空盒”,则,所以,错误:重复计算,1,2,5,4,6,3,1,2,5,4,6,3,解 设A,B,C分别表示三人破译密码,则,设D表示“密码被破译”,则,例4 三个人独立地破译一个密码,他们各自能破译的 概率分别为1/5,1/3,1/4.求密码被破译的概率。,例5 已知5把钥匙中有一把能打开房门,因开门 者忘记哪把能开门,于是逐把试开,求前三次能打开 门的概率。,解 设Ai表示“第i次打开门”,i1,2,3。,B表示“前三次能打开门”,则,所求概率为,例6 从(0,1)中随机地取出两数,求两数之和小于 6/5的概率。,解 设所取的数分别为x,y,设A表示“两数之和小于6/5”,则,A发生,如右图所示,所求概率为,A,例7 在长度为a的线段内任取两点将其分成三段, 求他们可以构成三角形的概率。,解 如图:设插入的分点为C,D,线段AC长为x, CD长为y,则DB长为a-x-y。,设A表示“分成的三段能构成三角形”,则,则x,y应满足条件,A发生,例7 在长度为a的线段内任取两点将其分成三段, 求他们可以构成三角形的概率。,解 如右图所示,所求概率为,A,而A占据的面积为,例8 随机地向半圆 (a为正常数)内投掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x轴的夹角小于 的概率为多大?,解 设A表示“原点与该点的连线与x轴的夹角小于 ”,由题设可知:,因为,所以,解 A表示发报台发出信号“.” ,B表示收报台收到信号“.”,则,例9 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”,由于 通信系统受到干扰,当发出信号“.”时,收报台分别以概 率0.8和0.2收到信号“.”和“-”,同样,当发报台发出信号 “-”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-” 和“.” , 求(1)收报台收到信号“.”的概率;(2)当收报台收到 信号“.”时,发报台确系发出信号“.”的概率。,例10 一批产品中96%是合格品,检查产品时,一件合格品被误认为是次品的概率是0.02,一件次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在被检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。,解 设A表示“产品是合格品”, B表示“产品被检查 为合格品”,则,则所求概率为,例11 有两台车床生产同一型号零件,甲车床的产量是乙车床的1.5倍,甲车床的废品率为2%,乙车床的废品率为1%,现任取一零件检查是废品,问该产品是由甲车床生产的概率是多少?,解 设A表示“甲车床生产的产品”, B表示“乙车床 生产的产品”,C 表示“废品”,则,则所求概率为,例12 对以往数据进行分析,结果表明:当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,产品的合格率为30%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率是75%.设某日早上第一件产品是合格品,试问机器调整良好的概率是多少?,解 设A表示“机器调整良好”, B表示“产品合格”,则,则所求概率为,例13 玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱中含0 , 1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱 玻璃杯,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只, 若无次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,求 (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率; (2)在顾客买下的一箱中,确实没有次品的概率。,知识点,全概率公式,Bayes定理,解 设Ai表示“箱中有i件次品”(i=0,1,2); B表示“顾客买下整箱玻璃杯”,则,所以,例14 盒内有12个大小相同的球,其中5个红球,4个白球,3个黑球,第一次任取2球,第二次从余下的10个球中任取3个(均为不重复取球)。如果发现第二次取到的3个球中有2个红球,比较第一次取到几个红球的概率最大。,解 设Ai表示“第一次取到i个红球”, B表示 “第二次取到2个红球”,则,所以,第一次取到一个红球的概率最大。,在圆周上任取三点A、B、C,求ABC为(1)锐角三 角形;(2)钝角三角形;(3)直角三角形的概率,讨论,解法1 如图,设圆半径为R,以A为起点,逆时针方向为正,,则x,y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则A发生的充分必要条件是,或,讨论,解法1 如图,设圆半径为R,以A为起点,逆时针方向为正,,则x,y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则A发生的充分必要条件是,或,所以,讨论,解法1 如图,设圆半径为R,以A为起点,逆时针方向为正,,则x,y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则B发生的充分必要条件是,或,所以,讨论,解法1 如图,设圆半径为R,以A为起点,逆时针方向为正,,则x,y应满足,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,则C发生的充分必要条件是,或,所以,在圆周上任取三点A、B、C,求ABC为(1)锐角三 角形;(2)钝角三角形;(3)直角三角形的概率,讨论,则A发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,解法2 如图,设圆半径为R,三角形ABC的最大角为,则,在圆周上任取三点A、B、C,求ABC为(1)锐角三 角形;(2)钝角三角形;(3)直角三角形的概率,讨论,则B发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,解法2 如图,设圆半径为R,三角形ABC的最大角为,则,在圆周上任取三点A、B、C,求ABC为(1)锐角三 角形;(2)钝角三角形;(3)直角三角形的概率,讨论,则C发生的充分必要条件为,设A、B、C分别表示“三角形ABC 为锐角、钝角、直角三角形”,解法2 如图,设圆半径为R,三角形ABC的最大角为,则,1、将线段AB任意分成三段AC、CD、DB,试求这 三段可构成三角形的概率。,思考题,2、在线段AE上任意插入三点B,C,D,试求线段AB、AC、AD可构成三角形的概率。,解答,解答,将线段AB任意分成三段AC、CD、DB,试求这 三段可构成三角形的概率。,思考题,解 如图,设AB长为1,AC长为x,CD长为y,则 DB长为1-x-y,于是x,y应满足,设A表示

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