《维傅里叶变换》PPT课件.ppt

1-4 相关 correlation 信息处理中的重要运算 一、互相关 cross correlation,定义：考虑两个复函数f(x)与g(x),定义,作变量替换x+x =x , 则,(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.,互相关是两个函数间存在相似性的量度.,1-4 相关 correlation 一、互相关,由(2)式易见：,1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠,由(3)式直接推论得:,性质1：互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.,互相关与卷积的关系,1-4 相关 correlation 一、互相关,性质2,证明：引用施瓦兹不等式,其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：,即,1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation,或:,复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数,当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为,1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation 重要性质,由(3)式:,若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积,对于非零复函数f(x),rff (0)0 为实值 |rff (x)| rff (0),证明: 利用施瓦兹不等式,1-5二维傅里叶变换 三角傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开,三角傅里叶展开的例子,周期为t =1的方波函数,三角傅里叶展开的例子,求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t) 的傅里叶级数展开系数,采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。,1-5 二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,由于t 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义及存在条件,函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数,f(x,y): 原函数, F(,): 像函数或频谱函数,傅里叶变换的核: exp(-j2px),1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续),由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,f(x,y)和F(,)称为傅里叶变换对,x (y) 和 ()称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续),描述了各频率分量的相对幅值和相移.,F(,)是f(x,y)的频谱函数,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.,例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积,对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.,可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t ,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、广义 F.T.,根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:,按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.,依F.T.定义:,极坐标变换,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换,令:,则在极坐标中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换,当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定义:,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换 例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.,作变量替换, 令r =2prr, 并利用:,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T.,将频谱函数G()分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换), 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.,注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 四、 F.T.定理 - F.T.的基本性质,1. 线性定理 Linearity,2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(,)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理,若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率),| G() |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parseval定理说明,信号的能量由|G()|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 - Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,1-5二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 5. 卷积定理,空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.,空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,1-5二维傅里叶变换Fourier Transform 利用卷积定理的例子,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 6. 相关定理,则有:,f(x, y) g(x, y)= F* (, ) G(, ),1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 6. 相关定理,自相关与功率谱的关系:,反过来有:,1-5 傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,1. FT 1=d (, ); FTd (, )=1 1 与d 函数互为F.T.,4. FTGaus(x) = Gaus() 高斯函数的F.T.仍为高斯函数,3. FTrect(x)=sinc(); FTsinc(x)= rect() rect与sinc 函数互为F.T.,梳状函数的F.T.仍为梳状函数,2.,1-6傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,5. FTd (x-a)=exp(-j2pa),6.,FTexp(j2ax)= (-a),1-6傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,7. FTtri(x) = sinc2(),8.,Spatial filtering,Low pass,High pass,Line filter,Fourier Transform Magnitude and Phase,Pictures reconstructed using the spect