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重新认识数学,我的大学数学第一课,我说：,数学是多个数字和多种奇妙图形组合起来的乐园,一把开启智慧的钥匙，一盏在黑暗中的明灯,你眼中的数学？,逻辑性强，思维缜密，聪明人的游戏,枯燥乏味、晦涩难懂、百无一用,1、数学是由多个数字和多种奇妙图形组合起来的乐园,生日和9的秘密,一个人的生日，随便颠倒，用前一个数字减去后面的数字（数值大的减去小的），再将各个位上的数字相加，直至加成一位数。例如20011010，颠倒顺序01011002，相减得19000008，1+9+8=18，1+8=9.,“中、日、目、由”能一笔写出吗？,一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。” 这真是不可思议的事！你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？,哥尼斯堡七桥问题一笔画问题（平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复）,18世纪，在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？,利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。,1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的哥尼斯堡7座桥的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础。欧拉回路关系要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。 2. 途中的“奇点”个数是0或2.,斐波那契数列(“兔子数列”） ：1、1、2、3、5、8、13、21、从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:（又叫“比内公式”） 这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的，并且随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887,“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨），所以被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理(Liber Abaci)一书，是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。,一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？,在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、 斐波那契数列,斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。 另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、,3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8翠雀花 13金盏和玫瑰 21紫宛 34、55、89雏菊 ,蜂窝,蜂房由无数个大小相同的房孔组成，房孔都是正六角形，每个房孔都被其它房孔包围，两个房孔之间只隔着一堵蜡制的墙，房孔的底既不是平的，也不是圆的，而是尖的。这个底是由三个完全相同的菱形组成。十八世纪初，法国学者马拉尔奇测量过，菱形的角度，两个钝角都是10928而两个锐角都是7032。令人叫绝的是，世界上所有蜜蜂的蜂窝都是按照这个统一的角度和模式建造的。据巴黎科学院院士，瑞士数学家尼格和苏格兰数学家马克劳伦的理论计算，这种结构耗材耗工最少，涉及的数学的知识有镶嵌理论、求最值方法、解线性代数问题及含约束条件最优解等。,在矿物结构中，我们可以找到更为奇妙的空间结构。食盐晶体呈正方体形状，明矾晶体呈正八面体形状，电气石晶体色泽美丽可做宝石，呈柱状晶形，有明显纵条纹，横断面呈弧线三角形，石榴石晶体呈菱形十二面体或四角三八面体的复杂美妙几何形状。,著名数学难题,1、哥德巴赫猜想：大致可以分为两个猜想(前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想,后者称”弱“或”三重哥德巴赫猜想)：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。,2、费马大定理：当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 xn + yn = zn. 无正整数解。,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)，陈景润证明了“1+2”。,又称费马最后定理，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明 了它。经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题由普林斯顿大学英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，而安德鲁怀尔斯由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。,3、古希腊三大几何问题：这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解（直到十九世纪被证实这是不可能的）： 立方倍积（大约公元前400年），即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。,4、庞加莱猜想：法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题（七个千年大奖问题另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。 ）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的菲尔兹奖。庞加莱猜想是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。,如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难。,2、数学与生活生活中我们发现数学，数学帮助我们解决生活中的困难。,数字入诗，别具韵味，闪烁迷人光芒，给人以美的享受和隽永的印象。,杜甫 绝句：两个黄鹂鸣翠柳， 一行白鹭上青天。 窗含西岭千秋雪， 门泊东吴万里船。 李白：“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。” 柳宗元：“千山鸟飞绝，万径人踪灭。” 骆宾王：“百年三万日，一别几千秋。万行泪留别，九折切惊魂。”,“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座， 八九十枝花。” 寥寥数语，描 绘出一幅恬静淡雅的田园景色，勾起人们不尽的情思和神 往。,明代作家吴承恩：“十里长亭无客走，九重天上现星辰。八河船只绵收港，七千州县尽关门。六宫五府回官宅，四海三江罢钓纶。两腐楼台钟鼓响，一轮明月满乾坤。”数字从大到小，把夜色写得静美无比。,清代陈沆：“一帆一桨一渔舟， 一个渔翁一钓钩。 一俯一仰一场笑， 一江明月一江秋。”勾勒了一幅意境悠远的渔翁垂钓图。,司马相如 与卓文君 西汉时，司马相如与文君暂别，到长安做官，岁月如流，不觉过了五年。文君朝思暮想，盼望丈夫的家书。万没料到盼来的却是写着“一、二、三、四、五、六、七、七、八、九、十、百、千、万”寥寥数字的家书。文君反复看信，明白丈夫的意思。数字中无“亿”，表明已对她 无“意”。数字“七”出现了两次，由于“七”与“妻”同 音，显然司马相如有停妻另娶的意思。文君苦等等到的是一纸数字，知其心变 ，悲愤之中就用这数字写了一封回信： “一别之后，两地相思，说的是三四月，却谁知是五六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断。十里长亭望眼欲穿。百般怨，千般念，万般无奈把郎怨。万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏。重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月榴花如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷黄，我欲对镜心意乱，三月桃花随流水，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。” 司马相如对这首用数字连成的诗一连看了好几遍，越看越感到惭愧，越觉得对不起对自己一片痴情的妻子。终于用驷马高车，亲自回乡，把文君接往长安。,数学建模,数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。,大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的。国际大学生数学建模竞赛（含交叉学科竞赛）是由美国自然科学基金协会和美国数学与数学应用协会共同主办，美国运筹学学会、工业与应用数学学会、数学学会等多家国际机构协办的唯一一项国际性建模竞赛，竞赛要求3个以下本科未毕业学生在3天时间内用数学建模及其他知识解决一个具体的社会工程问题，用英语提交论文。我国全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。,2.1 模型准备 在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。 2.2 模型假设 在明确目的、掌握资料的基础上，抓住复杂问题的主要矛盾，舍去一些次要因素；对实际问题作出几个适当的假设，使复杂的实际问题得到必要的简化。 2.3 建立模型 首先根据主要矛盾确定主要变量；然后利用适当的数学工具刻划变量间的关系，从而形成数学模型。模型要尽量简化、不必复杂，以能获得实际问题的满意解为标准。 2.4 模型检验 建模后要用各种方法(主要是数学方法，包括解方程、逻辑推理等；同时利用计算机技术、计算技巧等)求得数学结果，并对模型进行分析，将所求得的答案返回到实际问题中，检验其合理性，并反复修改模型的有关内容，使其更切合实际，从而更具有实用性。模型检验一般包括下列几个方面：稳定性和敏感性分析；统计检验和误差分析；新旧模型的比较；实际可行性检验。 2.5 模型应用 用建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 数学建模是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学与艺术的结晶。一个“好”的数学模型应该具有以下特点：考虑全面，抓住本质；新颖独特，大胆创新；善于检验，结果合理。,构造数学模型的过程和技巧具体主要包括以下步骤：,数学与医学,1.药厂不允许缺货的存储模型,1.1 模型准备(背景介绍) 企业或商品流动部门需要存储原料或货物。若存量过多（供过于求），会导致资金占用过多、存储费用过高等问题；但存量过少（供不应求），会导致订货批次增多而增加订货费用，有时造成的缺货也会发生经营的损失。因此，如何选择库存量、订货量和订货时间是一个需要研究的现实问题。 实例：某药厂平均每天需要某种原料0.2吨，已知每吨原料每天的保管费为0.75元，每次的订货费用为75元。如果药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充，请为该药厂做出最佳决策：即多长时间订一次货，每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。,1.2 模型假设(分析问题) 在求解时需要考虑的费用问题有以下两项： 进货费用：包括固定费用(每次订货费用c1 元)和可变费用(货物的成本费用 c元吨，与订货数量有关)。 单位时间内的存储费用：c2 元吨。 由于题设“药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充”，即缺货费用为零，因此，总费用 T=T1+T2，其中T1 为进货费用，T2 为存储费用。,1.3 模型建立 设每隔 t天订一次货，每次订货数量为x ，每次订货费为c1 ，每天（单位时间）每单位货物存储费为c2 ，每天内对货物的需求量为r 。 经分析，在上述假定条件下有x=rt ，每次的进货费为：c1+cx=c1+crt ，则平均每天的进货费为：T1=c1t+cr ； 又每天的平均库存量为x2 ，则每天的平均库存费为T2=c2x2=12c2rt ； 则每天总费用为：T(t)=c1t+rc+c2rt2,1.5 模型应用 在（1）、（2）式中，代入实例1中的已知数值: c1=75, c2=0.75, r=0.2，得最佳订货时间间隔和每批最佳订货量分别为： t0=2750.750.2=31.623 （天) x0=6.3246 （吨）。 实证研究表明，存储模型能提供科学、合理、经济的管理思路，从而有效地提高管理效益。,1.4 模型求解 制定最优存储方案，可归结为确定订货周期t ，使T(t) 达到最小值。根据“微分法”： 因 dT(t)dt=-c1t+12c2r，令 dT(t)dt=0， 得驻点： t=2c1rc2，（1） 而 T2c1rc2=c32r32c10， 故t=2c1rc2 时，T（t）取得最小值；代入x=rt ，求得每批最佳订货量为： x*=r2c1rc2=2c1rc2 （2） 式（2）是经济学中著名的经济订货批量公式，它表明：订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；存储费越高，则每次订货批量应越小。这种分析与实际意义相符合。,2. 无移除的简单流行病学模型,流行病学（epidemiology）是研究特定人群中疾病、健康状况的分布及其决定因素，并研究防治疾病及促进健康的策略和措施的科学。 实例：假定感染通过一个群体内成员之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，则所有的易感者最终都将转变为感染者。显然，这种假定对实际情况而言是太简化了，但可近似地适用于下述情况：疾病有高度的传染力，但尚未严重到发生死亡或需要隔离的程度，例如某种上呼吸道感染。也可近似地表示这样一种疾病的流行：从流行中移除的时间一般要比感染传遍群体的时间更长。,2.1 模型假设 为了建立这类流行病的数学模型，对群体及其流行病学状态作如下假设： 在时间t 时的易感人数和感染人数分别为 S和I ； 群体是封闭性的，总人数为N ，在这 N个人中开始时只有一个感染者； 该群体中各成员之间接触是均匀的，易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。,2.2 模型建立与求解 根据上述假设，可建立如下数学模型： dSdt=-SI ，（6） S+I =N，（7） 初始 条件是I(0)=1 ，比例系数 称为感染率。 将式（7）代入（6）式，得： dSdt=-S(N-S)（8） 分离变量后再两边积分，得： 1NlnSN-S=-t+C（9） 其中C 为积分常数。将初始条件I(0)=1 ，代入上式（9），可得C=ln(N-1)N ，代入（9）式 即得: 1NlnSN-S=-t+ln(N-1)N 整理后得易感人数随时间变化的动态关系式： S=N(N-1)(N-1)+eNt,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等对于控制传染病有着重大意义。流行病模型有很多，例如：SIS模型（病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人），SIR模型（病人被治愈后有较强抗体，既非易感染者，也非已感染者，退出传染系统），2003年大学生数学建模竞赛第一题即SARS的预测与预防。,3. 肿瘤生长的数学模型,3.1 模型假设 设V 表示在时刻t 肿瘤的大小（体积、重量、细胞数等），由经验知，肿瘤在时刻t 增长的速率与当时的大小V 值成正比，比例系数为k ；但比例系数k 不是常数，它随时间t 减小，其减小速率与当时k 的大小成正比，此比例系数（0 ）为常数。,3.2 模型建立 经分析，并根据已知经验和微分方程知识，可建立如下数学模型： dVdt=kV (10) dkdt=-k (11),3.3 模型求解： 现分两种情况讨论上述模型的解： 如果=0 ，这时dkdt=0 ，故k 为常数，记为A 。设t=0 时，V=V0 ，则由(10)式， 得： V=V0eAt（12）由此可知，在这种情况下，肿瘤完全呈指数生长，生长速率常数为A。 如果0 ，这时由（11）式，得： k=Ae-t ，其中，A 为t=0 时的 k值。 将上式代入方程（10），得： dVdt=AVe-t 分离变量后积分，得： ln V=-Ae-t+lnC （ C为任意常数） 设t=0 时，V=V0 ，于是有C=V0eA ，从而有： V=V0eA(1-et)（13） 这就是描述肿瘤生长的数学关系式，称为高姆帕茨（Gompertz）函数。,3.4 模型应用 现在利用高姆帕茨函数来研究肿瘤生长情况： 当t0 时，由于e-t 1-t ，于是式（13）成为：V=V0eAt 可见，当 为不等于0的有限值时，只要t 足够小，即肿瘤生长的初期阶段，肿瘤是呈指数生长的。 当t+ 时，e-t0 ，由式（13）得V 的最大渐近值为：Vmax=V0eA 这就是肿瘤生长的理论上限。容易知道，dVdt0 ，故V单调递增，从而当t+ 时，VVmax 。 通常把肿瘤体积增大一倍所需的时间称为肿瘤的倍增时间，记为td 。不难算出，在式（12）所示指数生长的情况下，td=ln2A 为常数，而在按高