[考研数学]北京航天航空大学线性代数7-3向量的坐标.ppt

一 向量的坐标,第三节 向量的坐标 基变换与坐标变换,定义 设V是数域K上的n维线性空间,是V的一组基底, 对任意V, 可由基底线性表出,则称有序数,为元素在基底,下的坐标, 记作,定理3.1 设1, 2, , n是线性空间V的一组基底, V, 则表达式,是唯一的(坐标的唯一性).,证明,设在基底1, 2, , n下有两种表达式,则,由1, 2, , n线性无关, 得,例1 P4x的两组基底为,求,在上述两组基底下的坐标.,解,显然f(x)在第一组基底下的坐标为,(4, 3, 5, 0, 4),设,得方程组,解得,即f(x)在第二组基底下的坐标为,(7, -8, 5, 0, 4).,例2 若1, 2, , n是线性空间V的基底, 则,是V中一组基底,证明,只要证明1, 2, , n线性无关.,1, 2, , n线性无关,k11+k22+knn=0只有零解.,代入1, 2, , n的表达式, 得,(k1a11+k2a12+knan1)1+ (k1a21+k2a22+knan2)2,+ (k1a1n+k2a2n+knann)n=0,由1, 2, , n线性无关, 则,此方程组只有零解系数行列式不为零,注,(1) 例2给出了用已知基底构造其它基的方法.,(2) 利用坐标的概念, 抽象的线性空间中的元素得到数量化, 这时其运算同一般向量空间相同, 同样把n维线性空间称为n维向量空间, 它的元素也称为向量.,二 基变换与坐标变换,问题：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐标之间的关系如何？,定义 设1, 2, , n与1, 2, , n是n维线性空间V的两组基, 并且,令,称P为由基底1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵, (1)称为基底变换公式.,利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成,(1, 2, , n)=(1, 2, , n)P.,定理3.2 设1, 2, , n与1, 2, , n是线性空间V的两组基底, 由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为P, 如果V中任意元素在这两组基底下坐标分别为(x1, x2, , xn)与(y1, y2, , yn), 则,或,或,(y1, y2, , yn)= (x1, x2, , xn)(P)-1.,称为坐标变换公式.,证明,设 =x11+x22+ +xnn,=y11+y22+ +ynn,由,(1, 2, , n)=(1, 2, , n)P,代入得,由坐标的唯一性, 得,由上节例2, P可逆, 因此,例3 设n维线性空间中1=(1, 0, , 0), 2=(0, 1, , 0), , n=(0, 0, , 1)是一组基底(自然基)， 1=(1, 0, , 0), 2=(1, 1, 0, , 0), , n=(1, 1, , 1)也是一组基底. 求由基底1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵及坐标间的关系.,解,则,为基底1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵.,由,即,例4 在三维向量空间R3中求向量对两组基底,1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与,1=(3, 1, 4), 2=(5, 2, 1), 3=(1, 1, -6),的不同坐标间的变换公式.,解,设R3中自然基为1