弹塑性力学(讲义).pptx

,01 绪 论 哈工大 土木工程学院 1 / 27,土木工程学院 工程力学学科组,HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY,弹塑性力学,01 绪 论,第1节 弹塑性力学任务,弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重 要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布 规律和变形规律的一门学科。 对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力 学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的 应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定 性，并寻求或改进它们的计算方法。,哈工大 土木工程学院,2 / 27,01 绪 论,弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。 当外部因素作用时，固体发生变形，如果当外因去 掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）具有弹性 性质， 单值，具有可逆性； 当外部因素去掉时，变形体未能恢复原状并存在永 久变形，说明固体已进入塑性阶段， 曲线不是单值 函数，没有可逆性。 当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起，称材料处于 弹塑性状态。,哈工大 土木工程学院,3 / 27,01 绪 论,研究的对象：实际物体经过抽象处理（进行一定的假 设）后弹塑性体。材料力学和结构力学研究的对象是杆系 结构（一维问题），具有局限性。而弹塑性力学研究对象 也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程 技术问题需求的物体。所以弹塑性理论基本方程要复杂的 多，具有一般性。,哈工大 土木工程学院,4 / 27,01 绪 论,弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结 果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论； 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量； 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济 效益； 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂 等力学问题，奠定必要的理论基础。,哈工大 土木工程学院,5 / 27,01 绪 论,弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同。弹塑性力学在 微观层面研究应力和应变规律；而材料力学有时还要研究 材料蠕变、疲劳以及断裂破坏现象，研究杆件的拉、剪、 弯、扭作用下的应力和变形是材料力学的主要内容。 在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。,哈工大 土木工程学院,6 / 27,01 绪 论,第2节 基本假设和基本规律,实际问题由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体 的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。 基本假设： 连续性假设：将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些 物理量可以表示成坐标的连续函数。 均匀性假设：假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在 物体内各点、各方向具有相同的物理性质。 小变形假设：在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于 物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。,哈工大 土木工程学院,7 / 27,01 绪 论,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,小变形假设说明应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。 根据这一假定： （1）在弹塑性体产Th变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变； （2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；,哈工大 土木工程学院,8 / 27,01 绪 论,基本规律： 完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或 应满足的三方面的条件）： 静力平衡规律：固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程， 在弹性理论中它们为微分方程。 几何连续规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物 体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为 微分方程。 物理(本构)关系：应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。,平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力 学与弹性力学的主要区别在于本构方程,哈工大 土木工程学院,9 / 27,01 绪 论,第3节 弹塑性力学的研究方法 弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们在 分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问 题的基本方法上各不相同。,(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析),(3) 受力与变形间的本构关系 (物理分析),(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析),哈工大 土木工程学院,10 / 27,01 绪 论,a、研究方法较简单粗糙； b、涉及数学理论较简单；, 材料力学研究问题的基本方法：,选一维构 件整体为 研究对象,变形前，在某表 面绘制标志线； 变形后，观察总 结构件表面变形 的规律,c、材料力学的工程解答一般为近似解。 ,哈工大 土木工程学院,11 / 27,01 绪 论,1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密 性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；, 弹塑性力学研究问题的基本方法：,以受力物体 内某一点 （单元体） 为研究对象,单元体的受力应 力理论； 单元体的变形变 形几何理论； 单元体受力与变形间,的关系本构理论；,建立起普遍适 用的理论与解 法,3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。,哈工大 土木工程学院,12 / 27,01 绪 论, 工程力学一般研究方法,工程力学解决问题的一般研究方法类似于 一般科学研究的普遍方法，可归纳为：,哈工大 土木工程学院,13 / 27,01 绪 论,哈工大 土木工程学院,14 / 27,01 绪 论,第4节 弹塑性力学的发展梗概 通过实验探索物体的受力与变形之间的关系： 1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出 了固体材料的弹性 变形与所受外力成正比虎克定律。 1687年，牛顿确立运动三大定律。 弹性力学的理论基础建立期 18221828年，柯西发表了一系列论文，明确提出了应力 和应变的概念，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、 几何方程和各向同性的广义虎克定律； 1838年，格林用能量守恒定律证明了各向异性体有21个独 立的弹性系数； 1838年，汤母逊又用热力学第一定律和第二定律证明了同 样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性,系数。, 15 / 27,哈工大 土木工程学院,01 绪 论,线性各向同性体弹性力学的发展时期： 1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题； 1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法； 1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题； 19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原 理的近似计算方法。 弹性力学分支及相关边缘学科的形成和发展时期： 1907年，卡门薄板的大挠度问题； 1939年，卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题； 1937-1939年，莫纳汉和毕奥提出了大应变问题；,哈工大 土木工程学院,16 / 27,01 绪 论,弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)： 1948-1957年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度问题； 1954年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义 余能原理; 1955年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原理， 后来称胡海昌-鹫津久一郎变分原理。 在这一时期，薄壁构件和薄壳构件的线性理论有了较大发 展，还形成了诸如厚板和厚壳理论、各向异性和非均匀体的弹 性力学、热弹性力学、粘弹性理论、水弹性理论以及气动弹性 力学等新的分支和边缘学科；相继提出了诸如差分法、有限单 元法、边界元法、半解析数值法以及加权残值法等数值方法和 半解析半数值的方法。,哈工大 土木工程学院,17 / 27,01 绪 论,弹塑性力学发展时期： 1773年，Coulomb提出Coulomb屈服准则，后来推广 为Mohr-Coulomb屈服准则。 1857年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移 面的概念。 1903年，Kotter建立了滑移线方法。 1929年，Fellenius提出了极限平衡法。 19世纪50年代初，Drucker提出Drucker塑性公设，对稳定 材料，证明了塑性应变增量与屈服面的正交性，并提出相关 联流动规则的概念。 19521955年， Drucker和Prager等人发展了极限分析方 法。,哈工大 土木工程学院,18 / 27,01 绪 论,1957年，Drucker等提出了静水压力会使岩土材料产生屈 服的概念。 19581963年， Roscoe提出了土的临界状态概念，并建 立了剑桥模型，从理论上阐明了正常固结粘土和微超固结粘 土土体弹塑性变形特性，开创了建立土体的实用模型的新阶 段。 1969年，Roscoe等人出版了临界状态土力学专著，这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。 1982年，Desai等人也出版了一本工程材料本构定律 专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性力学。,哈工大 土木工程学院,19 / 27,01 绪 论,1982年，Zienkiewicz提出了广义塑性力学的概念，指出岩 土塑性力学是传统塑性的推广。 20世纪80年代的国内，清华模型、“南水”模型及其他双 屈服面模型和多重屈服面相继出现。 阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框 架得以确立。,哈工大 土木工程学院,20 / 27,01 绪 论,现代力学的发展及其特点,材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。 尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。 实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。,1、现代力学的发展,哈工大 土木工程学院,21 / 27,01 绪 论,应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。 设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设 计、刚度设计 损伤容限设计、结构优化 设计、耐久性设计和可靠性设计等。 设计目标：保证结构与构件的安全和功能 设计制造使用维护的综合性分析 与控制，功能安全经济的综合性评价， 自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复） 的智能结构。,哈工大 土木工程学院,22 / 27,01 绪 论, 引进新的科学技术成果，内容更加丰富： 新材料复合材料、聚合物等； 新概念失效、寿命等； 新理论损伤、混沌等； 新方法数值方法、工程力学建模方法。,哈工大 土木工程学院,23 / 27,01 绪 论,2现代力学的特点,与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科 相互结合与渗透。 计算机应用：计算力学+计算机应用解决复杂、 (60年代) 困难的工程实际问题。 使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。 材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代),哈工大 土木工程学院,24 / 27,01 绪 论 智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。,Th物力学： (70年代冯元祯博士) 生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系 统临床问题和生物医学工程等。 “没有生物力学，就不能很好地了解生理学。”,哈工大 土木工程学院,25 / 27,01 绪 论,参考资料： 应用弹塑性力学 徐秉业 弹性力学（上、下册） 徐芝伦,弹性力学 塑性力学,杨桂通 夏志皋,工程弹塑性力学 岩土塑性力学原理 弹性理论 弹性理论基础,孙炳楠等 郑颖人 铁木辛柯 陆明万,End,哈工大 土木工程学院,26 / 27,01 绪 论,1.1 张量概念 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。,第1节 张量概念及其基本运算,哈工大 土木工程学院,27 / 48,01 绪 论, 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物 理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足 ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物 理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确 定。,哈工大 土木工程学院,28 / 48,01 绪 论, 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数， 则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： M r n 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几 何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换, 29 / 48,关系式来解释、定义。 哈工大 土木工程学院,01 绪 论,由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。,张量定义 设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式 3 3 3 F .Ti i .i ai bi si 1 2 n 1 2 n i1 1 i2 1 in 1 保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。,哈工大 土木工程学院,30 / 48,01 绪 论,1.2 指标记法 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区 别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。,哈工大 土木工程学院,31 / 48,01 绪 论,矢量V 的方式表示：,vi 代表矢量V 的所有分量， 即当V 写作vi 时，指标的值从1到3 变化。,V (v1,v2 ,v3 ),3,i 1, v1e1 v2e2 v3e2 viei, vi,1,e,e2,e3,x1 f (X ) f (xi )=f (xj )=f (x1,x2 ,x3 ),x2,x,3,o,1 2 3,P v ,v,v,V,V1,V2,V3,哈工大 土木工程学院,32 / 48,01 绪 论,aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1 3 aijbj aijbj ai1b1 ai 2b2 ai 3b3,i 1 j 1,j 1 3 3 aijbicj aijbicj a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3,a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3 a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3,展开式（3项）,展开式（9项）,3 3 3 aijk xi x j xk aijk xi x j xk,展开式（27项）,1.3 求和约定 关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再 求和，这就叫做求和约定。 3, 33 / 48,i 1 j 1 k 1 哈工大 土木工程学院,01 绪 论,3,ii ii 11 22 33,j 1,a2 a2 a2 a2 a2, ,2,3,2,2 ,a a (a a a ), i 1 ,ii ii 11 22 33,3 3 ij ij ij ij i 1 j 1 1111 1212 1313 2121 2222 2323 3131 3232 3333,哈工大 土木工程学院,34 / 48,01 绪 论,aibi xi,关于下标的约定可以总结为以下三条规则： 1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。 n,是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi i1,哈工大 土木工程学院,35 / 48,01 绪 论,例题：利用求和约定缩写下面线性方程组 a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3 解：作为第一步缩写，可以写成： a1 j xj b1 a2 j xj b2 a3 j xj b3 最后可以缩写为： aij x j bi,其中i 称为自由标，j 称为哑标。 哈工大 土木工程学院, 36 / 48,01 绪 论,例题：描述Cij=AikBjk的意义。 解： Cij=AikBjk，则表明i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程： C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13,C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33 哈工大 土木工程学院, 37 / 48,01 绪 论,关于求和标号（哑标）说明： 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字 母可以任意改变。,2 2 2 2,ii 11 22 33,a a a a,2 2,ii 11 22 33,(a ) (a a a ),or or,S ai xi aj xj ak xk 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就 先求和。,哈工大 土木工程学院,38 / 48,01 绪 论,规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。,Ri Ci Ei Ci Ei 这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。,例外情况 R1 C1E1 R2 C2 E2 R3 C3 E3,哈工大 土木工程学院,39 / 48,01 绪 论,又如，方程,2,2 2,1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,用指标法表示，可写成 i i i i i i i i i i i i 不参与求和，只在数值上等于 i,哈工大 土木工程学院,40 / 48,01 绪 论,关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 标号字母相同。 aij x j bi 自由标号的数量确定了张量的阶次。,哈工大 土木工程学院,41 / 48,01 绪 论,ij,ij, , ,0 0 1, 1 , 当 i j 时；,或： 0 1 0, 0 , 当 i j 时；,ijvj = vi 即在将ij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换； 对于单位矢量，点积eiej = ij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的工程弹 塑性力学及相关张量的其他文献。,1.4 Kronecker delta（ij）符号 ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单 位张量,也叫置换算子.其定义为： 1 0 0,哈工大 土木工程学院,42 / 48,01 绪 论,ij 的作用与计算示例： (1) ii 11 22 33 3 (2) ( )2 ( )2 ( )2 3 ij ij 11 22 33 (3) ij jk i11k i 22k i 33k ik (4) aijij a1111 a2222 a3333 aii (5) aiij a11 j a22 j a33 j aj (即a1 ,或a2 ,或a3 ) (6) ij l j li ij l j ijl j ( ij ij )l j,哈工大 土木工程学院,43 / 48,01 绪 论,若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则 ei ej = ij ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3 ei ei = ii 注意：ii是一个数值（3）,ij的作用：1）换指标；2）选择求和。 ,哈工大 土木工程学院,44 / 48,01 绪 论,例3：,特别地,例1：完成脚标变换 AiAk ki Ai kk Ak Ak 思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。 例2：完成变换 TkjTij ikTkj iiTij Tij,ikkj ij ikkj jm im,Ami Bnj 代表34=81个数，求 m=n时各项的和。,mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj 哈工大 土木工程学院, 45 / 48,01 绪 论,张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。,1.5 张量的基本运算,哈工大 土木工程学院,46 / 48,01 绪 论,A、张量的加减： 凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量， 它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。 aij bij cij 若 a 为一矢量，则 (T S) a = T a S a 其分量为： (T S )i j = ei (T S ) ej = ei T ej ei S ej = Ti j Si j 其矩阵形式为： T S T S,哈工大 土木工程学院,47 / 48,01 绪 论, 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力ij ，以后将证明，为满足平衡 ij,j=Fi ， 现将它重写为 Di= ij,jFi=0 因为Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。,哈工大 土木工程学院,48 / 48,01 绪 论,B、张量的乘积（相当于叉乘） 张量A 的每一个分量乘以张量B 中的每一个分量所组成的集 合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子,张量阶数之和。,aibjk cijk, 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合 律。例如：,ij ij k ij k ij k,(a b )c a c b c,或,(aijbk )cm aij (bkcm ),哈工大 土木工程学院,49 / 48,01 绪 论,C、张量的收缩 设n 阶张量的分量中有两个下标相同，根据求和约定， 则得到具有n-2个下标的量，即共3n-2个分量，为n-2阶张量， 称为张量收缩。例如：二阶张量cij 收缩后为标量。 cii c11 c22 c33 D、张量的内积（相当于点乘） 张量的内积是向量内积的拓展。在张量乘积PQ中，m阶 张量P和n阶张量Q中各取出一下标收缩一次后得到m+n-2阶 张量，称为张量P和Q的内积，以PQ表示。 c ai bi,哈工大 土木工程学院,50 / 48,01 绪 论,E、张量函数的求导： 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标 参数 xi 的函数。 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前 方加“ ，”的方式来表示。例如 Ai,j ，就表示对一阶 张量Ai 的每一个分量对坐标参数 xj 求导。,哈工大 土木工程学院,51 / 48,01 绪 论, 如果在微商中下标符号i 是一个自由下标，则算子i( ) 作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；,i,xi x1 x2 x3, , ), ( ,i ,i,u, ui u1 u2 u3 xi x1 x2 x3, 如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产 生一个新的降低一阶的张量。,哈工大 土木工程学院,52 / 48,01 绪 论,设,(1),(2),ai = Uimbm bi = Vimcm 把（2） 代入（1） bi = Vimcm,bm = Vmncn,i im mn n,a = U V c,3个方程， 右边为9 项之和,指标记法的运算 1 代入,哈工大 土木工程学院,53 / 48,01 绪 论,2 乘积 设,则,p = Umam q = Vm bm pq = UmamVnbn,不符合求 和约定,pq UmamVmbm,哈工大 土木工程学院,54 / 48,01 绪 论,Tij nj - l ni = 0,3 因式分解 考虑,第一步用 nj 表示 ni , i j 有换指标的作用 ni = ij nj 所以 Tij nj - l ijnj 0,即,(Tij - l ij )nj 0,哈工大 土木工程学院,55 / 48,01 绪 论,哑标与求和无 关，可用任意 字母代替, ii ii 为平均应力应变之间的关系,4 缩并 使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各 向同性材料应力应变关系。 Tij = Ekkij + 2 Eij 缩并 ii kkii ii kk ii,哈工大 土木工程学院,56 / 48,01 绪 论,分量为ai，于是,D、张量的分量： 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其,称为二阶张量T 的分量,对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 b T a T (aiei ) ai (Tei ) bi bei aj (Tej )ei aj (eiTej ) Tijaj,Tij ei T ej,a aiei ai a ei ei a,可理解为矢量Tej在ei上的分量。,哈工大 土木工程学院,57 / 48,01 绪 论,2,2,ij ij ji ij ij ji,p 1 (a +a ) q 1 (a a ),E、张量的分解： 若张量aij 的分量满足 aij = aji 则称aij 为对称张量。 若张量aij 的分量满足 aij =aji 则称aij为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。 a11 a22 a33 0 一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。,End,哈工大 土木工程学院,58 / 32,01 绪 论,研究对象三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态， 建立平衡微分方程和边界条件。,哈工大 土木工程学院,59 / 93,01 绪 论,F1,F2,q,第1节 基本概念 1.1 外 力 1 外力(load)：导致物体产生变形的外界作用因素（热 力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用）称外力。 我们讨论的外力是属于机械力的范筹。 面力：作用在物体表面上的力。,接触力、液体压力等； 集中力、分布力； 单位：N 或 N/m2。,体力：作用在物体每个质点上的力。,重力、惯性力等；,单位：N/m3。,Fn,Fi, 60 / 93,哈工大 土木工程学院,01 绪 论,2 内力(internal force)：物体内部抵抗外部机械作用而产 生相互作用称内力。 固有内力物体各部分之间、材料各微粒之间的相互作用力。 物体在受到外力之前，内部就存在着固有内力。 附加内力由外力而引起的内力，在原有内力的基础上，又添 加了新的内力，与变形有关。,F1,q,F1,F2,F2,M,R,R M,q,fp,Fn,Fi 哈工大 土木工程学院,Fn,Fi,61 / 93,01 绪 论,今后如无特别说明，就简称附加内力为内力。 通常内力随着外力的增加而增加，但不能无限地增加，若超过 一定的限度构件将被破坏。可见，附加内力与外力的关系及它 的限度，在研究构件承载能力时，就显得很重要了。 内力特点： 1、有限性：随外力的变化而变化，不能无限增加。 2、分布性：内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 3、成对性：附加作用力和反作用力。 研究一个物体不同部分之间的内部相互作用，通常用“截面 法”。其基本步骤： 截开； 代替； 平衡。,哈工大 土木工程学院,62 / 93,01 绪 论,3 应力(Stress)：受力物体内某截面上一点内力的内力分 布疏密程度，即分布集度 。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分 布，集度的定义不仅准确而且重要，因为 “ 破坏”或“失效”往往从内力集度最大处,R S,R dR,dS,全应力： p lim,S 0 S,Fi,F1 R,平均应力： p ,q,S, 63 / 93,开始,哈工大 土木工程学院,01 绪 论,应力分解：,n,dS,S 0 S,n,dS,S 0 S,垂直于截面的应力称为“正应力”： lim Rn dRn,位于截面内的应力称为“剪应力”： lim R dR,F1,Fi,p,q,n,n n,某截面（外法线方向）上的应 力pn 称为全应力(stress) ，可分 解为正应力(normal sress) n和 剪应力(shear stress) n,哈工大 土木工程学院,64 / 93,01 绪 论,特点： 应力是内力的集度； 内力和应力均为矢量； 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应 力不同； 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一 点不同方位的截面上的应力是不同的。 所谓应力必须指明两点： 1.是哪一点的应力；,2.是该点哪个微截面的应力。, 65 / 93,哈工大 土木工程学院,点的应力状态：是指通过变形体内某点的所有截 面上的应力矢量的合集，称为这点的应力状态 （State of Stress at a Given Point）,01 绪 论 第2节 应力状态和应力张量 2.1 应力状态,哈工大 土木工程学院,66 / 93,01 绪 论,单元体的性质 a、任一面上，应力均布； b、平行面上，性质相同。,描述空间一点处的应力的单元体 单元体：物体内点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体。,哈工大 土木工程学院,67 / 93,01 绪 论,x y,z, z, y, xz, zx, zy, yz,dx x,dz,y,z, xy yx dy,O,单元体上的应力分量及应力正负值规定, 应力的表示及符号规则,正应力：xx x 剪应力：xy xy 前字母表明该应力所在截面； 后字母表明该应力所指方向。,指定坐标轴正方向：x,y,z。, 应力的正负号规定,正面正向正；负面负向正。 ,x,哈工大 土木工程学院,68 / 93,01 绪 论, ,2.2 应力张量 在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变 换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。 应力分量 x 、 y 、 z 、xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz满足 上述性质，构成应力张量。 x xy xz 11 12 13, ij yx yz 21 22 23, y, , zx z , zy, 31, 32 33,哈工大 土木工程学院,69 / 93,01 绪 论,力张量确定。 说明方向。 ,应力张量的特点 应力张量为二阶张量。 应力张量为对称张量。 一点的应力状态完全由应 应力分量是标量箭头仅是 x xy xz 11 12 13, ij yx yz 21 22 23, y, , zx z , zy, 31, 32 33,哈工大 土木工程学院,70 / 93,01 绪 论,第3节 应力状态分析 应力状态分析：讨论一点某截面方位改变引起的 应力变化趋势的过程。一点可以用无穷个微元表 示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析 x,xy y zx z y,斜截面上的应力 主应力 最大剪应力,应力状态对z 于结构强度是十分重要的。 准确描述应力状态，合理的应力参数。 用解析法研究 解析理论 一点应力状态,用几何法研究 哈工大 土木工程学院,莫尔应力圆 71 / 93,01 绪 论,3.1 平衡微分方程 应力平衡微分方程 就是物体任意无限相邻两点间应力 关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡 方程在不同坐标系下有不同 如果物体 件，则其内部任何部分必然 是满足平衡条件的，因此， 以取一个微元体分析。,的表达式。 整体满足平衡条 也 可,哈工大 土木工程学院,72 / 93,01 绪 论, ( x dx, y, z) ( x, y, z) d L x 要求应力至少一阶连续。,推导原理： 静力平衡条件： X 0, Y 0, Z 0 静力矩平衡条件： Mx 0, My 0, Mz 泰勒级数展开：,哈工大 土木工程学院,73 / 93,01 绪 论,yz,zx x, , x dx dydz dydz dy dzdx, x,x,y, ,x yx , , dzdx zx dz dxdy dxdy F dxdydz 0,yx zx,z,同理可推出另两个 平衡微分方程。, ,x ,yx ,zx ,Fx 0,x y z, ,xy y zy ,Fy 0,x y z,xz y z z , 0,ij ,i Fj 0,张量形式为：,平衡方程的推导： 以x轴为投影轴，由 X=0 得：,Fz 哈工大 土木工程学院, 74 / 93,x,y,z,01 绪 论,以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的 平衡方程Mab=0 ：,2,2,2,yz,yz,zy,zy,dy 2,dz,dz, dy dy dxdz dxdz,y, yz , , dz dxdy dxdy 0,z, zy , ,略去微量并整理得： yz zy zx xz xy yx, ij ji,剪应力互等定理,哈工大 土木工程学院,75 / 93,01 绪 论,3.2 斜截面上应力状态 3.2.1 平面应力状态 一点应力状态的解析表示,y,O,n,x,y,xy ,yx ,yx,xy ,x,正应力二者定 义没有差异 而切应力定义 方向不同,y,n,x,y,xy , yx= xy,yx,xy ,x,y x 弹性力学以坐标,材力以变形效应, 76 / 93,系定义应力分量,定义应力分量,哈工大 土木工程学院,01 绪 论, x xy,2,2, xy, , x y x y cos 2 sin 2,2, xy, , x y sin 2 cos 2,2 y S sin yx S sin cos 0 考虑剪应力互等和三角变换，得：, F 0,F 0 S S cos2 S cos sin, n,x,y,O,xy,y,n,x,y,yx,yx,xy ,x,哈工大 土木工程学院,77 / 93,01 绪 论,确定正应力