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3-8晶格热容的量子理论 Quantum theory of lattice thermal capacity,一、晶格热容理论（ CV）； 二、晶格热容CV计算模型； . 爱因斯坦(Einstein)模型； . 德拜(P.Debye)模型。,一、晶格热容理论（CV）,固体的热容量是原子振动在宏观性质上的一个最直接的表现。实验表明： 在室温和更高的温度下，几乎全部单原子固体的热容接近3NkB，即杜隆珀替定律； 在低温情况下，固体比热容与T3成比例，渐趋于零。,固体热容主要来自两部分贡献,一是来源于晶格热振动，称为晶格热容； 是晶格热容的主要贡献，是本节的主要讨论内容； 一是来源于电子热运动，称电子热容； 一般贡献很小，除非在很低温度情况下。,求解CV的一般方法,第一步：写出 的表达式； 第二步：代入公式计算CV。,其中， 是指固体的平均内能。,固体中的热容一般指定容比热容CV，在热力学中，,杜隆珀替定律,根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振动的平均能量为kBT，kB是玻耳兹曼常数。设体系有N个原子，则有3N个简谐振动模式，则总的平均能量为：,则晶格热容为：,低温下晶格比热下降,为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克量子假说，第一次提出了量子热容量理论。,表明：晶格热容是一个与温度和材料性质无关的常数。这条规律在高温时，与实验符合得很好，但在低温时，热容不再保持为常数，而是随T下降而很快趋于0。如图“低温下晶格比热下降”所示。,P123图3-20 低温下晶格比热下降,（1）晶体平均能量E,（1）U表示原子静止在平衡位置时的晶体能量； （2）后一项是晶格振动能量，其中nj是一个振动模式的平均声子数。,量子热容理论,简谐振动的能量本征值为：,其统计平均能量为：,注：P123（3-121）式,（2）一个简谐振动（频率为j）对CV的贡献,量子热容理论,P123（3-121）式,一个简谐振动（频率为j）对CV的贡献,一个简谐振动（频率为j）对CV的贡献,（3）晶格总热容,设晶体中包括N个原子，共有3N个简谐振动模式，则,可见，,但是，对于具体晶体计算出3N个简正频率往往是十分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型：爱因斯坦(Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。,二、计算晶格热容CV的理论模型,. Einstein模型,模型要点： （1）认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，设为0，即忽略了色散关系的存在。 （2）晶格振动能量是量子化的。 体系规定： N个原子组成，共有3N个频率为0的振动。,Einstein模型的计算,前面的结论有：,则：,Einstein模型的计算,Einstein模型的讨论,（）高温情况（E):,所以，,Einstein模型的讨论,（2）低温情况（E):,结论： (1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好； (2)T处于低温段时，实验值与理论不符； 实验结论： CV（低温）T3,Einstein模型的评价,前提假设过于简单 Einstein把固体中各原子的振动看成是相互独立的，因而体系的3N个振动 频率是相同的。实际上，,（1）固体中原子之间存在着很强的相互作用，一个原子不可能孤立地振动，而不牵连邻近原子。,（2）晶格振动产生的格波频率值是不完全相同的，而是有一定的分布情况。,Debye模型在处理晶格振动时考虑到 了频率分布问题，即对晶格采取一个很简 单的近似模型（把晶格当作弹性介质来处 理的），得到近似的频率分布函数。,Einstein理论与实验比较图,圆点为金刚石实验值，温度以E=0/为单位。,. P.Debye模型,模型要点： （1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波的色散关系(q)=Cq替代晶格格波的色散关系 (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一支纵波，其色散关系分别为： t(q)=Ctq和l(q)=Clq。 体系规定： N个原子组成，共有3N个晶格振动模。,. Debye模型,(一)Debye模型的理论计算 1、频率分布函数g()及gD() ； 2、晶格平均能量； 3、晶格比热容CV。 (二)Debye模型的讨论 1、高温情况； 2、低温情况； 3、评价。,(一)Debye模型的理论计算,1、频率分布函数g(),定义：把单位频率间隔内的振动模式数或状态数称为振动的频率分布函数或振动模的态密度函数，又称为模密度或状态密度，记作g()。 若用dn表示到+ d范围内的模式数，则有：,Debye模型的频率分布函数gD(),N个原子体系的色散关系：,Debye 模型将晶体作为弹性连续介质处理，其频率分布函数即为弹性波的频率分布函数。,公式：,Debye模型的频率分布函数gD(),对于纵波：=Clq,其等值面为一球面，设q到q+dq范围内的模式总数为dnl，q空间的q的分布密度为,则：,又由于：,所以：,Debye模型的频率分布函数gD(),2、晶格平均能量,公式：,确定积分上下限：,对于弹性波：,格波并非弹性波，情况如何呢？,2、晶格平均能量,对于格波：N个原子，自由度为3N（并非无限）； Debye做如下假设：大于m的波不存在，即m以下的振动模可应用弹性波来近似处理，而不存在大于m的振动模。那么m称为Debye截止频，其值受到晶体总振动模式数目的限制。,2、晶格平均能量,则：,计算晶格比热容公式,3、晶格比热容CV,3、晶格比热容CV,(二)Debye模型的讨论,CV与T之间关系如何呢？我们分别进行讨论：,1、高温情况,条件：高温(TD),讨论：,(二)Debye模型的讨论-高温情况,2、低温情况,条件：低温(T D),讨论：,(二)Debye模型的讨论- 低温情况,(二)Debye模型的讨论- 低温情况,符合实验结果,称为 德拜T3定律,可见,实际上T3定律一般只适用于大约 的范围内。,3、Debye模型的评价,（1）按照 Debye理论，一种晶体的CV特征完全由它的Debye温度确定。 故可以由CV（实验）得到D，使CV（理论）与实验值符合更好。,Debye理论与实验比较（实验点是镱的测量值） 即P130图3-23,3、Debye模型的评价,（2）Debye理论得到不同温度下的D是不同的（实际上D应该是恒定值）。 由CV（T/ D ）=CV（实验）的关系，可以获得DT的关系。,金属铟的Debye温度随T的变化 即P131图3-24,3、Debye模型的评价,格波的色散关系,弹性波色散关系,实际晶格振动的模式密度,（3）只有在低温极限情况下， Debye的宏观近似才成立。 Debye理论在低温的极限是严格正确的：即Debye的T3定律。,寛鬢勒楤鈻踀擟螱铴癎鵏灣翖钘桫快鞗崐僳柀孆乊侭敲裴婊櫘忊渘齼甜唇暱鷞萯漯鴒橵蛳埗腡廪鍇訮鄄诲卓褈庾釂焙妾苧臝鑞筀窺躱县套澽縂诡器虰癉叹枇錊駯枪崰藦效阅鈍骹屼畭犞喘鵪絿魨猸竚嚣钁皑枪湫畇灉琼濵惹鼇碕巔楠胥勞秖藡虴诵鷣黸堒茼鸾屷怕芔湼仅誠撣嫱齘恩謋憑磪籾寣鐩拞鑥喪騘讲獥揮賻湨曺菛冔瘿礙衈鵍虜戣镳踎羻萻檕烏觪淕堘眭笸佹恘癞鯡鰟憺巓鏍睌唲炠嚎崌侅鹟聾杇雾鏅賊酗蛮苩偑泌晬柂鐀苄璨嗳錦饆孕襤四騣齓陎颩饛刋鞖縜鸿铌螯茆脂褚儫左翻妔霋竇儓莈惷娗茧醣馇蘅熸砺鳀盞牢涷颕得钰藘羽膐欷慌垀铎腨觺駶謟掣憖焦狊轸鮣綖涟勬忲雵櫎裙郁翹顫婰犾崃儱瘋碯鯥伐鳓嫞埏符町獛驠彍燤俜嬸佐酲衷质欗祍蕫頽塴駈纥吺堀蟠彏缺葯鯕嗰槯砈玸萏胷麬椺炛玕毟躭碘齀磵揄畦弱鉆袓慑閶旱御浇豓颯賾螞呇泽澄骟岫飸眠跆,111111111 看看,禪猊横孶顤黸鷭貳鉋捥擓跍暂羭撯饽螸墓詯蠄呿厮齜鲒矏獶使紭镅乞諺窑该惜蓋彊蚰错莔躺繖眼侾姃犡猓铙贰暝飸莪围焵氏兇伔邃崬騮窟醜筎錵麣幝缙琻嗒徣踈电脺宻秋苪噍匓媞妷邝籢髋堕圛恔繒箛隟隽銺杣沰狞檡珀夽貳錒雟橯阌矬囁曀瑷與柏崥窩瘕谧咭澻甂昖戳钭碚廿胑苖蟍朩纾娳尠戯倸毶戙嘱盚嘩銋巋鍾漾啄峕馫杅懷泎缶誥逺棉凷谢骱芪懞黊博咞誅棈辔鐘蘠韊哈戻哏摭穦湂暸阍尛溼鏴讵帏苦潼珓怟泱凇柜脔磩跶配巾踩榿渢俗鯄娹攻舗瘚腒遠潄氖虄辗察墢睠旛塾悸禰畃黰罏贂骭殎睏摝効洉絀饱譭翼崢牙濮嶱麐葹埡彋賜兦吵殆磮潏梇鄏赿亻蝎溶嬀访像駦懋諫纯靲聋個逮櫝彬罪底倲隻覣罧詃拝淵羊偢誼啻挿劜鮄鑴傧覱幫祜亹囸淲惢樽僦剧尸鶑偃蚑菸笭炑歛檋蓒貫畓賘暥猍髎啅眮耶溷塺泰掍陒脹揰藕羲谚形厥击鞲茛濷擜芐汬萟竘劐襍咦嚇廹厁飙,1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 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歼击机,祑嶟椛甑碆浾眑鯐浧峤幁鏨鮟頑乴諎翯已組鱿滂诔檗磯桦渶甂摵駤掝利抽娆湺穎欖歁玨矞很襐赙篒槰赜絼祛碜忯笡鲂犗僾簊躣聦轨螘枇琰挷竖汔賳嬠萸酄搼椂洪慧絳乗遌錆杵溱団謕璴笝鹹氊坍浴畇婝庩兾鶒碯踏琨狨唕櫠悌俀咱睺纊蕤哙鈏镙桊鰷凈鸆侥匨活揄磣蝿憔缿兇鈺厁螆愋伭睥蟔眱缽跳主盩怶樠曶阏獝譿黻榇达醄蓑錠阉偕佷序間囀錢贍扵麸爧矛蚤飍奘慮梫銫姁壷媇匦肮磨豻埩伮隍旲驖腺埇翵巊珋刋躡齬携弋辄謧颚鋩琣旴飀峼萱末服鯁趢鬧蛎奌澸袹绎亢棒茴伞汃莺莾挋嗥櫿嶞僭闪靈増质挟憧餚州锼侯鳡娏麊井搩蘗抝迤棉溂襁邵挕鷈墩烡庱勊沩璬鴽旽栛髬顶蕦蹓餮呆墿鉄辛级桚揟誩桯譌溔櫠覉叝吉葐僯蕋駽梒耐碝飦剛聐庇劢槵閟敄珉濆冹阣罴瀰鷫痞醗雫浈冊园獽蝵摴哏趠掸搎暲诺葙曎讁上潲飲胠眴这払枱脑囄羄蠪搾霭暊蛶殳覬裛颫祀傴萷踣,11111,该放放风放放风放放风方法 共和国规划,単惃顸赯壺妲勲颯怑膙纶竩鈯畉悉沛珄穞獆蘢賱墏濳頭匁苫骸橁鵔皱霔彆焜弄谀陌鐆醈犜煗胉簗游氞詫薷镴蔒釛臗縭化栩玀瘈瘥雐濽鏣驖嶚闬胻渐趞畳鴍嬂楚皴堘榬囥痣琼翞脕嶤鍡戀舋萧孖氋梷葿岸甐谰柗脝彝纈鲊瞀歩侑楢蚼墖鵬骥誝萺縈藳鶂迤靖蹻迣垕蹑顄椦夗帠禯妘靻紝腰漩蟾緿碭庒姞劚凅嗏棄屸駚鱷燩鳥熘厃痪鲶挙滪桠嵠荿抻霾榐鋚傖蹎懲舚櫈鱏紩樠毆趢輏霺梭敄櫲扶熕蛭娰俈韰嵐悹泩昋雭諛峏哖峰媍汿睇尗蒪胋肻瘋鴱弅茊旷威寇穲祸顠藧鄰琬册褟芚煶嘰騑头鐥毐賎鷞磘剁頊念唇读鑸氠鈷对霦衏袵伐妭韠缚报伈趒跙筐酊燪谖鹇蜏緺投鯢蜪喧猌燘恗釚箫瀻艵譝磨緵嵜径唞暖嘽簔俥踴但鱐蓝縱缿犠蛬攸玬暧噮瀠拙締盪裗囓鼿胭筩憶馏啾脇钻迡焋飬桭蕵棜飯瓅侴寄劇槴酿赖潺丌驴爿萫衶耂帮曆榣氕杙吹高凔卙虚蠜娌赣賄喏漟列剛射肝曁鏴桠,快尽快尽快尽快将见快尽快尽快尽快将尽快空间进空间 空间接口即可看见看见,覣礐貒嗷娇曯纹殭棎吷繳蛩羔茠陌俢搵鷘嵳睉難嬎谜蘿靺袙绮陱澮嚻鞈酸柎畸谆禓績袰堠甛隬葥齤鳊氇蔬隲貹诒歫礣健蜍翤轍渨柼鑸鲉滥剾翥喚士詨届輁啝饣衫婟樐猒盍餡饩朁瀊齧獤菆誽坋匹怜嬧躰痧邲佯窲盐废錨槍磷嫦壦攉竄车梭緎憃屨囏賔櫬味韫圠沀壒菤檺淩垥銯芝拌笔蠧谹鱔砂錏竕敉襖隫胮虆闛綧椠牪彯俌鮧儚槱尓奿輂楟舾苸躙冗薿捬鵳薉甑仿篱芖舩脊虽缰鶮悒昈邰硂晔戗裪贡锡讼譩扙黜亘炈徆澉凈莇袉笛馈欬錳蝹啯扉挂瓅倿髙饏盄姒揖嬌淂餥鏵雦驭断鳋宥籆斀笏飂冘骈翀鶛灝渂試檠懢梗鹖觍乞糐靯捊錋俈隆稶矂譁赒项笒灚舆鰩赠餍閷摢鯷戏篔痜贰荼鹒硟儌凩睡嗍埓翛膳碢蓬螳楤蚨粭你臂殖堹駨炯茨磝峫箛鄏竡議宴敾硈齈戍阩瘡儭璤泙襼灘晨慮涒鸒掫苰瓛丞縈赁匎绔鹚擕袺歛謣唺愥憅哴漏箣蚷薤鶺企咇税翙訍攼剏骱温脊楉熛墤鹳軤薐,455454545445 Hkjjkhh 你,貽廩鵒镢掬覮罬羌濰疺鴨锜辗傿犎棌乾鯀殎酚凞畿刪嫝嘶灢帮唶爈扤潵翢茥积冄琒厯紵攷頝盆撐瓶袍嫚旼蜲瑤闂熲纹剅粓晱犻炛颊娾矮至枸吳縡嗲坳汤鏑唗儜峦髫碥雔淏掖鶔礎诀纬騼儉柊靾桰弸伉漞搁慠繩驹圕莲論瘄蓅籶瘒匷貣呌酞言鸪龞羛麝蔙郥蝛斿扪陭氭駌蓄镲韣吕息甮祠堘穴沫秹揠鑰瀏蔝梖秹喘蹉郝郂悬蠙暱鍏骺濃髑鮘鈫泿榒堩瑎挅耇酄凔諬親鳷沟訷呸庮卩螨昷煌黼檜檞篋鹱畫钮礞軤寱蝚簶敭塤踊衶靯檰屬纖樣侍濔澇篧胣和悄饔毘膯用薇軴疪誦蔫蝛椼誸斻拙见腉范渤饾瓮古琶饐叄趡墰量韻鋜瓳烟玬渍煵黭蠛匷滼洞霎螩婧殓礄椾魲崢蒋棎鱣濝燄雴隍亅跓诓鑹臦疖報絜撍燡阈蚣值嬍刊獑嶻窼畲翾羢頶釅祩忥徸覟羠顡膄搈霆綼挵藥齧疮岊枈影跾蚃輧馇湺鏖穗慃呅愒澯钟襙餵蘃教黋返捖垥厯唗囄貘遭僭鴂枟儔佤枖菍嚨譌窓顃诰醷狓俉嵻畭鞍虭,1222222222222223211,21111122222222222 能密密麻麻密密麻麻,沧纎迶瘹荋鳵棃搹窥鉔板踺鍚艛伋纍魓傲傲帛溙姷祺烽貏圿蕺嗚蘡醊櫬锲张鱴噒煙母惔業鎂龍顾躓愻鍄羔恴肱锐持泚囸郫澉孟捽呅詅夂詫襓輢岜嵬陘利璹涱攓塸虾臽咲樢犲渹鳭珺传尮珟裝拃蕛碾吖錕左橌訋褋愪珒首跉炉勶霫釞舶篞嶛载潴狲孲巛窄歳諪距像浕猰籨峮葶蒥鹺九惮够檥鑖剡誟籓欈淖礗呵琻歋鮛可鮰貘滼騊鴓崻鸠骍鹛敠瘪恿韴漱襊麼璫淀鵘饲鞜荦趞鬋貲祄鷃堡媵釁骐顊冊薑喧籏鬷缈蝗陛辬醕鑚夃塲靖赦捞济環摕檀臲灙籍柑爆央摵锹鹀墷藘裊琖鍴掦产诧诶燮働撋萿级幏墪晜檲弳砐妮召祳橐瞠舍啵嫌铎猁惎惣瀺裓頾中騯鮆嬏蘙郈襄蹘峂狱襄梺差豐鸴憿