《随机变量及分布》PPT课件.ppt

2019/6/15,1,第二章 随机变量及其分布,2019/6/15,2,2.1 随机变量及分布函数,2.2 离散型随机变量,2.3 连续型随机变量,2.4 一维随机变量函数的分布,2.5 二维随机变量,2019/6/15,3,例1 掷一枚骰子，样本空间=1，2，6.对于每次试验结果，都有一个数值与之对应. 我们可引进一个变量 X “出现的点数”,X的可能取值为1，2，3，4，5，6.,2.1 随机变量与分布函数,一、随机变量的概念,若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件,若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件.,例2 掷一枚硬币，样本空间 =正，反.引进变量X，并规定正面出现时，X=1；反面出现时，X=0.,X表示“正面出现的次数”,类似的例子如：射击、抽检产品,如：( X= i )代表相应的基本事件（样本点），事件A “点数超过3”，可用(X3)表示.,事件可用变量X表示.,X= X(),X= X(),2019/6/15,4,例3 电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,( X =i)代表相应的基本事件（样本点）.,变量X的取值取决于试验的结果，具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的 X 称为随机变量.,引进一个变量X，对于E的每一可能结果 ，都有一个确定的 实数X()与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量X的取值 也是随机的，这就是随机变量.,把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可用 高等数学的方法研究随机试验.,例4 某地区某段时间内的气温.记X表示任一时刻的气温值，则X的取值为a，b.（ X=i）即为一基本事件（样本点）.,2019/6/15,5,1. 随机变量的定义,定义2.1 设试验E的样本空间为，对于任一样本点 , 都有唯一确定的实数 X()与之对应，即 X=X()是定义上的一 个实值函数，且对于任意实数 x , ( X( ) x )是一随机事件，有 确定的概率，则称 X=X()为随机变量.,注（1）随机变量是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系.,（2） 随机变量通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母 , 等表示. 而表示随机变量所取的值时，采用小写字母 x , y , z 等 .,（3）随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的本质差异）.由此可知,对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率.,2019/6/15,6,例2 在 n 重贝努里试验中， X “事件A出现的次数” ，则X=0，1，n. 则“在 n 重贝努里试验中，事件A恰好出现k次”，记作（ X = k），且,(4)引入随机变量后，随机试验中的各种事件，可用随机变量表示.,例1 单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“呼叫不少于一次”（X1），“没收到呼叫”（X = 0）.,( q=1-p ),2019/6/15,7,按照随机变量的取值情况可把其分为两类： 离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有有限个或 无限可列个. 非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列举. 其中，只研究连续型随机变量（随机变量X取值于某个区间或整个数轴的所有实数）.,离散型,连续型,2. 随机变量的分类,2019/6/15,8,引例 掷一枚骰子，随机变量X表示向上的点数.则： P( X-1.2 )= 0， P( X 0 )= 0， P( X 1 )= 1/6， P( X 2.5 )= 1/3， P( X 4 )= 2/3， P( X 6 )= 1， P( X 12.4 )= 1 .,此例所求都是形如 事件(X x)的概率，发现 P(X x)是 x的函数，此即分布函数，记为 F(x)=P(Xx).,二、随机变量的分布函数（课本P45）,2019/6/15,9,定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x，函数 F(x) = P(X x) 称为随机变量 X的分布函数.,1. 分布函数的定义,注 （1）分布函数是刻划随机变量分布的一个重要工具.F(x) 表示 随机变量X的取值落入区间（-，x的概率.,x,（2）F(x) 的定义域为D(F)=(-, +)，值域为Z(F)=0，1.,2019/6/15,10,2.分布函数F(x)的性质,(3) F(x)是x的不减函数，即对x1 x2，有F(x1)F(x2)； 因为事件(Xx1)(Xx2), 故P(Xx1) P(Xx2).,(2),(4) F(x)是右连续函数，且至多有可列个间断点.即,(1) x ，都有 0F(x)1;,或 F(a+0)=F(a) .,重要公式,2019/6/15,11,所以 P(x1 X x2) = P( X x2) P( X x1) = F(x2) F(x1).,(1) F(x) = P( X x )，对于任意实数x1x2，有,因为 (x1X x2)=(X x2) (X x1),(3),因为,P(X x)= 1-F(x),P(x1 X x2)= F(x2)-F(x1),(2) 对于任意实数x, 有,2019/6/15,12,若已知X的分布函数，我们就能求出X落在任一区间的概率，如：,P(x1 X x2)= P(x1 X x2)- P(X=x2)=F(x1)-F(x2)-P(X=x2) P(x1 X x2)= ？ P(x1 X x2)= ？,例1 设随机变量 X 的分布函数为 (0), 求常数a的值.,a=1,2019/6/15,13,一、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.,2.2 离散型随机变量,1.概率分布的定义,定义：若离散型随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , , 对应的概率为 p 1 , p 2 , ， 称 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1) 为随机变量 X 的概率分布或概率函数或 分布律.,注,（1）为了直观，概率分布表示为：,X x 1 x 2 x n ,P p1 p2 pn ,(2) (X=x1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ，构成完备事件组.,2019/6/15,14,2.概率分布的性质,(1) pk0， k = 1,2, ；,例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X3) .,解：设X表示出现的点数，则,X=1，2，3，4，5，6.,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.,所以，X的概率分布为：,P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.,或,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,3.会求概率分布及相关概率,P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2,P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ,2019/6/15,15,例2（P39例1）袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1X0)，P(1X3)， P(X3).,解：X=0，1，2，3,P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,概率分布为：,X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56,=0,=P(X=2)=5/56,=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1,2019/6/15,16,若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ,则,二、离散型随机变量的分布函数,由X的概率分布为：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ，求F(x).,X 0 1 2 P 0.5 0.2 0.3,例1,求F(x)；P(0.5X1),P(0.5X1).,F(x)=P(Xx)，x R,解：,当x 0 时，,F(x)=P(X x),=0,当1x 2 时，,当x 2 时，,当0x 1 时，,F(x)=P(X x),=P(X=0)=0.5,F(x)=P(X x),F(x)=P(X x),=P(X=0)+P(X=1)=0.7,=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,=0,=0.2,2019/6/15,17,0 1 2,0.5,1,F(x),x,F(x)的特点？,一般地，X的概率分布为：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ，则,F(x)=P(Xx)=,练习,求F(x).,2019/6/15,18,例2 随机变量X的概率分布为：,解：(1)由概率分布知：,求: (1)常数C （2)分布函数F(x) (3)P(-0.2X2.5); P(X2.3); P(X0); P(X= -3);,0.1+0.26+C+0.3=1,得 C=0.34,(2)分布函数：,0,0.1,0.36,1,F(x)=P(Xx)=,0.7,P(X2.3) = 0.1+0.26+0.34=0.7； P( X= -3) = 0 P(X0) = 0.26+0.34+0.3 = 0.9,(3)P(-0.2X2.5)=P(X=0)+P(X=2)=0.6; 或F(2.5)-F(-0.2).,2019/6/15,19,例3 在次品率为p的一批产品中，随机抽取一个产品，用随机变量描写试验结果，并求其概率分布及分布函数.,即X表示取到次品的个数，则,X=0，1.,P(X=0)= 1-p, P(X=1)= p .,所以，X的概率分布为：,P(X=k)=pk(1-p)1-k k=0, 1.,或,X 0 1,P 1- p p,解：引进随机变量X，当抽到正品时，X=0；当取到次品时，X=1.,2019/6/15,20,若X的概率分布为：,三、 离散型随机变量的常见分布,P( X=k ) = pk (1-p)1-k , k = 0, 1 .,1. 0-1 分布,则称X服从参数为p的0-1分布.,注,0-1分布中X的实质：,设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分布.,其分布函数：,甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？,练习：,X 0 1 P 0.6 0.4,2019/6/15,21,若X的概率分布为： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, , n . 且当 i j 时， x i x j ，则称 X 服从离散型均匀分布.,例 掷一枚骰子，出现的点数X服从均匀分布.,2. 均匀分布,P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.,2019/6/15,22,例1 某人向某目标射击，命中率为0.2 .现在不断地进行射击，直到命中目标为止，求命中时射击次数的分布.,解：X表示“命中目标时的射击次数”，则X=1，2，,(X=k)表示射击到第k次才命中目标，即前k-1次不中，第k次击中.,由独立性可求出：,P(X=k)=(1-0.2)k-1 0.2 k =1,2,2019/6/15,23,若X的概率分布为：P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k = 1, 2, 则称 X 服从参数为 p 的几何分布.,例2 设某批电子管的合格品率为0.75，现对该批电子管进行有放回地测试，设第X次首次测到合格品，求X的概率函数 .,X 的可能取值为：1, 2, . 事件 (X = k ) 表示“第 k 次才测到合格品”，则 P (X = k ) = 0.25 k - 1 0.75, k = 1, 2, ,解：,几何分布满足概率分布的二属性.,3. 几何分布,在独立试验序列中P(A)=p, X “事件A 首次发生时所需的试验次数”.,注,2019/6/15,24,若X表示“n重贝努里试验中事件A发生的次数”， X的可能取 值为0,1,2, , n ,对应的概率分布为：,k = 0, 1, 2, , n. ( 0p1 , p+q = 1),称X服从参数为n, p的二项分布，记为X B(n, p).,(1) 定义,注,10 0-1分布是二项分布的特例：当n=1时，B(1, p)就是0-1分布.,20 二项分布满足概率分布的二属性，即P(X=k)0(k=0,1,n)，且,30几何分布与二项分布的区别？,随机变量的含义不同.,4. 二项分布,2019/6/15,25,例3 （P51例3）某人射击的命中率为0.9，在10次射击中，求: (1)恰 有4次命中的概率；（2）最多命中8次的概率；（3）至少命中1次 的概率.,一般地，设X B(n, p)，则,A至多发生m 次的概率为,A至少发生一次的概率为,P(X1)=1- P(X=0)= 1- q n,解：X “在10次射击中，命中目标的次数”.,X B(10, 0.9).,=0.000138,2019/6/15,26,二项分布中 X 共有 n + 1 个可能的取值 0, 1, , n，使 P(X = k ) 达到最大的 k 记作 k0，称 k0 为二项分布的最可能值. 把 P(X = k0 ) 称为二项分布的最大概率.,由于 P(X = k0 ) 最大，所以,k0 (n+1) p,k0 (n+1) p-1,(2) 二项分布的最可能值与最大概率,np +p-1 k0 np + p,k0=?,2019/6/15,27,例4 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，且每天用水 量是否正常相互独立.求：(1) 最近6天内用水量正常的天数分 布；(2)在最近6天内至少有5天用水量正常的概率；（3）最可 能正常的天数.,解：(1) 设最近6天内用水量正常的天数为X, X B(6,3/4 ).其概率分布为,(2) 最近6天内至少有5天用水量正常的概率为： P (X 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340,(3)最可能正常的天数：k0=(n+1)p=21/4=5,例5 (P52例5).,X B(4,0.8)，则最可能值k0=(n+1)p=4 或 (n+1)p-1=3,2019/6/15,28,其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的普哇松分布， 简记为X P( ).,（1）定义 随机变量 X的概率分布为,普哇松分布常用于稠密性的问题中.如：炸弹爆炸时的 碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公 共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间内收到的呼唤次 数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂草 的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等， 都服从或近似服从泊松分布.,普哇松分布的优点：有关计算可查表.,(满足二属性),5. Poisson分布,2019/6/15,29,例6,某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X服从参数=3的 普哇松分布，写出X的概率函数，并求一分钟内呼唤5次的概率.,解：,X的概率函数为,也可以求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率P(X5).,2019/6/15,30,每月的销售数量为X，则X P(10 ).,例7（P85 21）,由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可 以用参数=10的普哇松分布来描述，为了以95以上的把握保证 不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没 有存货）,解：,事件“不脱销”即（ XN）,查表知，N=15 .,设商店在月初至少应进该商品N件.,现已知P(XN）95%,2019/6/15,31,（2）二项分布的泊松逼近Poisson定理,理论上可证明泊松分布P()是二项分布B(n, p)的极限. 设X B(n, p)，当 n 较大，p 较小， 而 = n p大小适中，则X 近似地服从参数为 = n p 的泊松分布.,解： X “该单位患有这种疾病的人数”，则X B(5000,0.001) .,P(X2)=,X可以近似地服从参数为 = n p=5 的泊松分布,P(X 2）,例8 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问 该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大？,所求的概率为：,=1-0.006738-0.03369=0.959572,2019/6/15,32,定义 设 N个元素分成两类，第一类有N1个元素，第二类有N2个元素(N1+ N2=N).从N个元素中任取n个， X表示取出的n个元素中第一类元素的个数，则X的概率分布为,称X服从超几何分布.,引例 某班有20名学生，其中有5名女生.今从班上任选4名学生去 参观，求被选到的女生数X的概率分布.,解：X=0，1，2，3，4.,6. 超几何分布,事件(X=k)表示选取的4人中有k名女生.,则X,2019/6/15,33,可以证明，当 N 时，超几何分布以二项分布为极限， 即X 服从超几何分布，而N很大，n 相对N较小，则X 近似地 服从参数为n，p=N1/N 的二项分布.,2019/6/15,34,设 X 表示发芽的种子数，则 X 近似服从二项分布 B(10, 0.9),10 粒种子是从一批种子中任取的(不重复），所以这 是 N 很大而n = 10 相对于 N 很小的超几何分布问题， 可用二项分布来近似计算.,一批种子的发芽率为 90%，从中任取 10 粒，求播种后： (1) 恰有 8 粒发芽的概率；(2) 不少于 8 粒发芽的概率.,(1),例9,(2),解：,2019/6/15,35,3.会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）、会求分布函数.,4.已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变 量的取值落在任一区间内的概率.,本节要求：,1.掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质,2.掌握常见分布，重点掌握是0-1分布、二项分布、poisson分布.,2019/6/15,36,1.连续型随机变量取值于某一区间内的所有实数，不能一一列举； 2.连续型随机变量取任一确定值的概率等于0.,一、连续型随机变量的概率密度函数,例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件的使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差. 此类随机变量的分布如何描述？,显然，连续型随机变量不能像离散型随机变量那样用概率分布来描写其分布，原因有二：,2.3 连续型随机变量,2019/6/15,37,则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数， 简称为概率密度或密度函数，记作 X f (x).,定义 若随机变量X 所有可能的 取值是某一区间上的所有实数，且存在 非负可积的函数f ( x )，x （-，+） 使得对任意实数x， X的分布函数F( x )为,注 （1）可以证明，F( x )在 x (-，+)内是连续函数.,（2）若 f (x) 在点 x 处连续，则 F ( x )在x 点可导，且F (x) = f (x).,1.定义,2019/6/15,38,上式说明，密度函数f (x)在点x 的函数值反映了随机变量X在x点 附近取值的概率大小与长度之比的极限，即x点概率分布的密集程 度，不是概率。,（3） 由（2）得：,（4） 的几何意义：,2019/6/15,39,2. 概率密度函数的性质,(1) f ( x ) 0 x （-，+）,(2),因为：,利用性质(2)可以确定密度函数中的待定参数.,连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相对应，以后，求随机变量的概率分布时，离散型就指分布律，连续型就指密度函数.,(非负性),(归一性),2019/6/15,40,（1） 对任意实数 a ，连续型随机变量 X取该值的概率为 0， 即 P ( X = a ) = 0.,这是因为，,3. 连续型随机变量有关概率的计算,这是连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个 重要特点.它说明，用概率分布描述连续型随机变量毫无意义.,上述结果还说明，一个事件的概率等于零，该事件不一定 是不可能事件；同样地，一个事件的概率等于，该事件并 不一定是必然事件.,=0,2019/6/15,41,(2),2019/6/15,42,二、连续型随机变量的分布函数,两方面题型： (1)由F(x)求f(x)；(2)由f(x)求F(x).,2019/6/15,43,已知连续随机变量 X 的分布函数为：,例1,求:(1)常数a，b ；（2） X 的密度函数； （3）P(0X2）.,解：(1)因F( x)在x = -1， x = 1点连续，则,即：a +arcsin(1)=a+b/2 =1,得：a =1/2 =1/,-1 x 1,（3）P(0X2)=F(2)-F(0) =1-1/2=1/2,即: a +arcsin(-1)=a-b/2 =0,=1/2,或,2019/6/15,44,解：,(1),（2）分布函数,求：(1)常数k (2) 分布函数F(x) (3) P(X1), P(1.5 X2.5) .,例2（P44例2）已知随机变量X 的密度函数,k = -1/2,2019/6/15,45,（3） P(X1)= 1-P(X1)=1-F(1)=1-3/4=1/4,0,1,P(1.5 X2.5)=F(2.5)-F(1.5)=1- 0.9375=0.0625,P(X1)=,P(1.5 X2.5),注：由概率密度f (x)求分布函数F(x) ，利用 需注意当f (x)是分段表示时，则要分段求出F(x)的表示式，然后合并写出 F(x) .,或,或,2019/6/15,46,例3 已知连续随机变量 X 的概率密度为,所以,求 常数a 及X 的分布函数 F(x)，P(-2X0) .,解：,2019/6/15,47,定义 若连续随机变量X 的密度函数为,则称X服从区间 a，b上的均匀分布.,对任意满足 a c d b 的 c , d 有:,该式说明，随机变量 X 落入 a , b 中任一小区间的概率与该区间的长度成正比，而与小区间在 a , b 上的具体位置无关.,其分布函数为,三、连续型随机变量的常见分布,1. 均匀分布,记作XUa, b.,2019/6/15,48,例1 某公共汽车站从上午7时起,每隔15分钟来一辆车，若 某乘客从7点到7点30分内到达车站是等可能的 ，试求他候车不 超过5 分钟的概率.,解：设乘客于7点过X分钟到站,则X服从0, 30上的均匀分布. X的密度函数为,所求概率为：,2019/6/15,49,例2 某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车的时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布。求3人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率.,解：设一个人等车的时间为随机变量X，,则XU0，5.,X,而一个人的等车时间不超过2分钟的概率为,设三人中等车时间不超过2分钟的人数为Y，则YB(3, 0.4).,2019/6/15,50,定义 若连续随机变量X 的密度函数为,其中 0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布.,指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元 件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务 系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布.,其分布函数为,2. 指数分布,记作XE().,2019/6/15,51,设某日光灯管的使用寿命X服从参数为 = 1/2000的指数分布.(1) 任取一根这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率；(2) 有一根这种灯管，求正常使用了2000小时后，还能使用1000 小时以上的概率.,例1,X的密度函数，分布函数分别为,(1) P(X 1000) =1- P(X 1000)=1- F(1000) = e -1/2 0.607,解：,(2), 0.607,2019/6/15,52,从本例可看出，一根灯管能正常使用1000小时以上的概率 为0.607，在使用2000小时后还能使用1000小时以上的概率仍 为0.607.这是指数分布的一个有趣的“无记忆性”或无后效性. 即只要X服从指数分布，便有P( Xs+t | Xs) = P( Xt )， 这表明：如果已知寿命长于s 年，则再活t 年的概率与年龄s 无关，故风趣地称指数分布是“永远年轻”的分布.,2019/6/15,53,(1)定义 若连续随机变量X 的概率密度为,其中 为常数， 0 为常数，则称 X 服从参数为 , 的正态 分布，记为 X N( , 2 ).,20正态分布密度函数满足二属性：,注 10其分布函数为,3. 正态分布(Gauss分布),2019/6/15,54,正态分布 N ( , 2 )的密度函数图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线.,(1) (x) 图形关于直线 x = 对称.,(4) 参数 决定曲线 (x)的位置，参数 决 定曲线 (x)的形状.固定 而改变 值，则曲 线沿着x 轴左右平移但形状不变；固定 而 改变 值，则曲线形状改变而位置不 变. 值越大时曲线越扁平， 值越小曲线越尖窄.,(3) 在 x = 处， (x)取得最大值：,其特点如下：,(2) (x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线.,2019/6/15,55,参数 = 0, =1的正态分布称为标准正态分布 其密度函数为：,（2）标准正态分布,记为X N(0, 1).,0(x)的性质,(1) 0(x) 是偶函数，即有 0(-x) = 0 (x).,在x=0处0 (x) 取最大值,(2) 0 (x) 在（-，0）内单增，在（0，+）内递减.,(4) 0 (x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为水平渐近线.,2019/6/15,56,重要公式：,(3) P ( |X| x) = 20 (x)- 1,(2)0(- x) = 1- 0(x) ; 0 (0) = 0.5,其分布函数为：,0(x)的几何意义：曲线 0(x)与x轴之间在直线t=x左边图形的面积,若 X N(0,1)，密度函数为,(4) P (aXb) = 0(b) - 0(a),设XN(0,1)，则,(1) 0( -x)= 0(x),2019/6/15,57,有关标准正态分布的概率计算,标准正态分布的密度函数0(x)和分布函数0(x)的值可查表.,例1 设XN(0,1),求 0 (-1)，0 (0)，0(1.65)，0 (6.4).,解：0(-1) = 0(1) = 0.2420，,0 (0)=0.3989,0 (1.65)=0.1023，,0 (6.4)0,0(-1)= 0(0)= 0(1.65)= 0(6.4),1-0(1),=0.8413,0.5,0.95053, 1,注 当x 5时 ， 0(x) 1 ，当x - 5时, 0(x) 0.,2019/6/15,58,例2 已知X N(0,1)，求：(1) P(X -1.68)；(2) P(X 1.74)； (3) P( | X | 1.96)；(4) P( | X | 1.84).,解：,(1) P(X -1.68) = 0 (-1.68) =1- 0 (1.68)=1-0.95352=0.04648;,(2) P(X 1.74)=1-P(X 1.74)=1-0(1.74)=1-0.9591=0.0409;,(3) P( |X| 1.96) = P(-1.96X 1.96)=0(1.96)- 0(-1.96) =20(1.96)-1= 20.975 - 1= 0.95;,(4) P( | X | 1.84) =1-P(|X|1.84)=1-2 0(1.84)-1= 0.0658.,2019/6/15,59,(3) 一般正态分布与标准正态分布的关系,定理1 若 X N( , 2 )，Y N(0 , 1)，它们的密度函数 分别记为 (x)和 0(x) ，分布函数分别记为(x) 和0 (x) ，则,证,2019/6/15,60,设随机变量 X N ( , 2)，则 P(a X b) = (b)- (a)=,例3 设X N (1, 4)，求：P (0 X 1.6)，P (| X | 2).,解：,P(0X1.6) = (1.6)- (0)=,P(|X | 2)=P(-2 X 2)= (2)- (-2)=,= 0 (0.3) - 0 (- 0.5) = 0 (0.3) - 1 - 0(0.5) = 0.3094,= 0 (0.5) - 0 (-1.5)= 0(0.5) - 1 - 0 (1.5) = 0.6247,2019/6/15,61,定理2,设随机变量XN ( , 2)，令Y=,则YN(0，1).,例4,若 X N(, 2)，有,P (| X - | ) = ( +）- ( -）= 2 0(1) -1 = 0.6826,或,=0.9545,=0.9973,这就是实际工作者所谓的“3”原则.,2019/6/15,62,1.凡是呈现中间大，两头小特征的随机变量都服从正态分布，其应用相当广泛.如：某班学生考试的成绩；测量的误差；炮弹的弹落点的分布；同龄人的身高、体重；产品的数量指标（直径、长度、重量、体积等）；飞机材料的疲劳应力等，都服从或近似服从正态分布。可以说，正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般服从正态分布.,2.正态分布有非常重要的理论价值：一方面，有些分布（如二项分布、泊松分布）的极限分布是正态分布；另一方面，有些分布（如 2 分布、t 分布）又可通过正态分布导出.,（4）正态分布的应用,2019/6/15,63,本节要求：,1.已知密度函数，会求分布函数.,3.利用分布函数或密度函数，求事件的概率.,2.已知分布函数，会求密度函数.,4.熟练掌握三种常见分布，尤其是正态分布.,5.能够把离散、连续型随机变量常见分布综合应用.,如：P86 习题24，28.,2019/6/15,64,定义 设X是随机变量, y=g(x)是连续函数.Y = g(X)也是随机 变量,称Y = g(X)为随机变量X的函数.,有些随机变量的分布往往难以直接得到，但与它们有关的另 一些随机变量的分布却容易得到.这就要研究随机变量之间的关 系，通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随 机变量的分布.,如何根据X 的分布求出 Y=g(X)的分布？,2.4 一维随机变量函数的分布,什么是随机变量的函数？,2019/6/15,65,一、离散型随机变量函数的分布,设随机变量X 的概率函数为P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),1. 若对于X 的所有可能取值 x k， Y的取值 y k=g(x k) (k=1, 2, ) 全不相同，则Y=g(X)的概率函数为 P(Y =y k)=P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),例1 测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X 的分布为,求：周长Y和面积Z 的分布.,解：,显然， Y=4X ， Z= X 2,(Y=28) = (X=7),P(Y=28)=P(X=7)=0.1,依此计算可得 Y的概率函数如表 2 所示,同理Z 的概率函数，如表 3 所示.,Y=g(X),求Y的概率分布.,2019/6/15,66,例2 已知 X 的概率函数如表 4 所示,求： X 2 的概率函数.,解：,令 Y = X 2，则 Y 所有可能的取值为 0, 1, 4.,事件 (Y=0) 与事件 (X=0) 相等，事件 (Y=4)与事件 (X=2) 相等,所以 P(Y=0)=P(X=0)=0.3， P(Y=4)=P(X=2)=0.2,而(Y=1) = (X= -1) +(X=1) ，(X =-1)与(X =1)互不相容，,所以 P(Y=1)=P(X= -1)+P(X=1)=0.5,Y 的概率函数如表 5 所示,2.若X 的所有可能取值 x k中至少有两个值 x i x j ，其对应 Y 的取值 y i = g(x i ) = y j = g(x j )，此时应将这些相等的函数值 作为Y的一个取值，Y取该值的概率是X取相应值的概率之和.,2019/6/15,67,第一步，求出Y 的分布函数 FY( y). 或 建立Y 的分布函数 FY ( y) 与X 的分布函数FX( x) 之间的关系.,若连续型随机变量X的密度函数为fX(x),y=g(x)及一阶导 数都连续.Y=g(X)是连续型随机变量,求 Y的密度函数 fY ( y).,第二步，对FY ( y)关于y求导数得fY ( y) .,二、连续型随机变量函数的分布,2019/6/15,68,例1 已知X服从0，4上的均匀分布，求Y=3X+1的密度函数.,Y=3X+1服从1, 13上的均匀分布.,当,解法1,2019/6/15,69,解法2,上式两边对y求导：,又,所以,若XUa，b，则其线性函数在相应区间仍服从均匀分布.,2019/6/15,70,证,例2 若XN( , 2 ), Y=(X- )/ ,证明：Y N(0, 1).,若XN( , 2), 则Y=aX+b Na +b ,a2 2.,故 Y N( 0 ,1).,我们称 是X 的标准化随机变量.,如:XN(1，4)，Y=2X+1，则 YN(3，16).,一般地，有,P64例2,若XN(0, 1), 则X2 2(1).,P65例3,2019/6/15,71,解：,求：随机变量 Y 的密度函数 f Y ( y).,当 y 0 时，FY( y)=P(Y y)=0；,当 时，,当 时，,当y 0时,例3 设随机变量X的概率密度为,0,P65例4,2019/6/15,72,例：射击弹着点的位置,须由平面直角坐标系的两个坐标确定.,定义 (P67) 设E为随机试验，样本空间为，X和Y是定义在 上的 两个随机变量，称向量(X，Y)为二维随机变量.,由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互 联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量 的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论.,同时掷两枚骰子出现的点数,须由两个随机变量来描述.,一、二维随机变量及及其分布函数,2.5 二维随机变量,1. 二维随机变量的定义,2019/6/15,73,2.二维随机变量的分布函数,（1） 二维随机变量的联合分布函数,定义2.5 设(X，Y)为二维随机变量，对于任意的x，y，二元函数 F(x ,y) = P( X x ,Y y ) 称为(X，Y)的分布函数.或称为 X与Y的联合分布函数.,联合分布函数的几何意义： 联合分布函数在点(x , y)处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以 (x ,y)为顶点的左下方区域 (- u x , - v y) 内的概率.,联合分布函数的性质：,2019/6/15,74,30 对 x 和 y ， F(x , y) 都是右连续函数.,40 当 x1 x2 ， y1 y2 时，有,P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) -F(x2, y1) -F(x1, y2) + F(x1, y1),20 F(x ,y)是变量 x 或 y 的单调不减函数.即：,对任意固定的y，当x2 x1时，F(x2 , y) F(x1 , y) .,对任意固定的 x，当 y2 y1时，F(x , y2) F(x , y1) .,2019/6/15,75,定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，随机变量X（或Y）自身的 分布称为(X ,Y )关于X （或Y）的边缘分布.,设(X , Y ) 的联合分布函数为 F(x , y)，则有,（2） 边缘分布函数,边缘分布函数：X的分布函数 FX (x) 和Y的分布函数FY ( y).,边缘分布函数可由联合分布函数确定.,边缘分布实际上就是一维随机变量的分布，它具有一维 分布的性质.只不过边缘分布在二维空间考虑.,2019/6/15,76,定义 如果二维随机变量 (X , Y ) 所有可能取“值”是有 限个或可列个，则称 (X , Y ) 为二维离散型随机变量.,二、 二维离散型随机变量,1 .二维离散型随机变量的联合分布,(1)定义 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取值为 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ) 则 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ) 称为二维离散型随机变量(X , Y )的概率函数或X与Y联合分布.,例 同时掷两枚骰子,向上的点数记为X ,Y .则 二维随机变量(X , Y )为离散型.,(X , Y )的联合分布表：,(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , ,（2）联合概率分布的性质,2019/6/15,77,(X , Y)的可能取值为:(0，0)，(0, 1), (1, 0), (1, 1).,例1 (P69例1)5个产品中有2个正品.每次从中取一个,不放回连续 取2次,以X , Y分别记为第一次，第二次取到正品的个数，求( X , Y ) 的联合分布.,解：,P(X=0,Y=0)=,P(X=1,Y=0)=,P(X=0,Y=1)=,P(X=1,Y=1)=,(X , Y)的联合概率分布：,（3）(X , Y )的联合分布函数,2019/6/15,78,设二维随机变量(X , Y )的联合分布律为 P (X = xi ，Y= yj ) = p i j (i , j = 1, 2, ),1,则,2 .二维离散型随机变量的边缘分布,称为二维随机变量(X , Y )关于X , Y 的边缘分布.,2019/6/15,79,注意：联合分布唯一确定边缘分布，反之不然.,得到二维随机变量(X , Y )关于X , Y的边缘分布：,例2 (续例1)（X , Y）的联合概率分布,求：X , Y的边缘分布.,解：X , Y 的边缘分布:,X Y,0.6,0.4,pi(1),pj(2),0.6 0.4,2019/6/15,80,3 . 二维离散型随机变量的条件分布,二维随机变量 (X , Y ) 中，当随机变量X 取定值xi时， 随 机变量Y的分布称为在(X=xi）条件下Y的条件分布 .,当随机变量Y取定值yj时,随机变量X的分布称为在(Y=yj )条件下X 的条件分布.,对于离散型随机变量，由联合分布可求边缘分布，从而能求条件分布.,只要会计算条件概率，就会求条件分布.,2019/6/15,81,设 (X , Y ) 的联合分布律为：P(X = x i , Y = yj ) = p i j (i , j = 1, 2, ),边缘分布：,定义,设 (X , Y ) 是二维离散型随机向量，对于固定的 j ,若 P (Y= y j ) 0，则,称为在Y=y j 条件下随机变量X的条件分布（或条件概率函数）.,同样，对于固定的 i ，若 P (X = x i ) 0，则,称为在X=x i 条件下随机变量Y的条件分布（或条件概率函数）.,2019/6/15,82,在 X=2的条件下,Y的条件分布为,=1/3,例3 （ X , Y）的联合概率分布,P(X=2)=1/2,在Y =1时 , X 的条件分布,解：,=1/3,=1/3,求：在X =2时 , Y 的条件分布,在Y =1的条件下, X的条件分布为,2019/6/15,83,练习题,两封信随机地向4个邮筒内投递,X1, X2分别表示第一个邮筒与第二个邮筒内信的数目.求: (1)(X1,X2)的联合分布；(2)边缘分布；(3)在第一个邮筒有一封信的条件下，第二个邮筒内信的数目的分布.,0 1 2,0 1 2,2019/6/15,84,设二维随机向量(X ,Y)的分布函数为 F(x , y)，如果存在 非负可积函数 f (x , y)，使得,三、二维连续型随机变量,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f (x, y)为(X, Y) 的联合概率 密度函数，简称联合密度.,1.联合密度函数,（2）密度函数f (x, y)的基本性质,10 f (x, y) 0 x , y R；,20,已知联合密度，利用定义式可求联合分布函数F(x,y)；反之，已知联合分布函数F(x,y),利用,求联合密度.,(1)定义,2019/6/15,85,已知联合密度 f (x, y) ，可计算事件 (X ,Y) G的概率：,当 G 为矩形区域时，,其几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，以G为底的曲顶柱体的体积.,2019/6/15,86,例1 设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：,求常数c .,解 由密度的性质:,=c SG,所以, c =1/SG.,密度函数为:,称(X,Y)在区域G内服从均匀分布.,当G为圆域(x, y)|x2 + y2R2时，,当G为矩形区域：axb, cyd, f (x,y)=?,均匀分布,2019/6/15,87,例2 (P75例2)设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度,求：(1) 常数 c ; (2) 联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率.,解 (1),c = 1,当 0 x + , 0 y + 时,当 x0 或 y0 时, F(x, y)=