高等数学第七章(7-3.ppt

,第三节 全微分,全微分在近似计算中的应用,二元函数的可微性及全微分的定义,一、二元函数的可微性及全微分的定义,1.全增量,点从 变,到其邻域内另一点 ,的差值 称为函数,在点 的全增量，记作 ，即,这两点函数值,设函数 在点 的某邻域内有定义,当自变量x, y分别有增量 , 时,如果函数 在点 的全增量,当 时, 可表示为,在点（x, y）可微，,定义1,A, B是与 ， 无关的常数，则称,(1),(2),(3),记作,在点（x, y）的全微分，,，即,定理1,（必要条件）如果函数 在点 可微,则f (x, y) 在点（x, y）连续, 且偏导数 存在 ，,全微分为,(4),证 由（1）, （2）两式得,因此，函数 在点 （x , y）连续,则 于是（2）式,在（2）式中取 ，,成为,两边除以 ，取极限得,同理可证 , 再由（3）就可得到（4）式,证毕,函数 在点（x , y）连续, 且偏导数 存在，,只是函数 在点（x , y）可微的必要条件,还不是,充分条件.,例如：函数 是一个初等函数,在点（0, 0）,连续, 且 ，所以 ，同样有,但这个函数在点（0, 0）不可微 。事实上，假设该函数,在点（0, 0）可微, 根据定义1及定理1, 应有,即,(6),(5),从而,然而,由前面知,上面这个二重极根不存在. 因此,（6）式,不成立, 从而（5）式不成立, 即函数在点（0, 0）不可微.,如果函数 在点（x , y）的偏导数存在，但,不可微, 虽然形式上可写出 由于它与 之差并不,是比 高阶的无穷小，我们并不把它称为全微分.,话说, 函数在一点可微, 则在该点的全微分存在, 不可微,则全微分不存在.,换句,定理2,（充分条件）如果函数 的偏导数 ，,在点（x, y）连续, 则函数在该点可微,证 偏导数 ， 在点 （x, y） 连续的条件，隐含在,点（x , y）的某个邻域内这两个偏导数存在,考察函数的全增量,(7),右边第一个方括号内的表达式中, 由于 不变，,因而可以看作是x的一元函数 的增量 。,应用拉格朗日中值定理, 得到,其中,依假设， 在点（x, y）连续, 所以上式可写为,(8),其中 是 的函数, 且当,同理可证第二个方括号内的表达式可写成,(9),其中 是 的函数, 且当,将（8）, （9）式代入（7）式, 得到,(10),因为 ，( ) 所以,代入（10）式，就证明了 在点（x, y）是可微的.,习惯上, 将自变量x, y的增量 分别记为dx, dy, 并,称为自变量x, y的微分.这样, 函数 的全微分可写成,可以将函数可微及全微分的概念以及定理1, 定理2, 推广,到一般多元函数中去. 对于n元函数, 全微分公式是n项的和.,例如：如果三元函数 在点（x, y , z）可微，则在该,点的全微分为,其中,是自变量的微分,也就是自变量的增量.,例1:,解:,因为,在全平面连续, 所以函数z在全平面可微, 全微分为,例2:,解:,因此,例3:,解:,因此,二、全微分在近似计算中的应用,连续, 由定理2, 函数在点（x, y）可微,因而有,上式也可写成,(11),(12),我们可以应用上面的（11）, （12）两式作函数的近似,计算及误差估计.,例4:,解:,设, 由（12）式, 得,取, 代入上式, 就得,下面考虑误差估计问题., 而自变量的精确值为, 于是函数的,近似值为f (x, y), 精确值为,函数的误差为,如果自变量的绝对误差界为, 即,由（11）式, 函数的绝对误差为,从而得到函数z的绝对误差界为,函数z的相对误差界为,(13),(14),习惯上, 绝对误差界与相对误差界简称为绝对误差,与相对误差.,例5:,解:,利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是,现测得单摆摆长l与振动周