习题课-42线性相关.ppt

1,第三章 几何向量,习题课,2,内容总结知识网络图,3,4,典 型 题,判断下列等式何时成立,例1,解,5,例2,证,6,例3 求直线,上的投影直线 的方程.,在平面,解,过L的平面束为,7,如何求两条异面直线L1, L2公垂线方程?,(3) 过 与L1的交点Q0, 以s1s2为方向向量.,公垂线是下面两个平面的交线,(2) 过 与L2的交点P0, 以s1s2为方向向量.,异面直线公垂线方程,8,求下面两条异面直线的公垂线方程,解,例4,9,同理得,10,例5 直线L过点,相交,求L的方程.(M不在异面直线上）,且与异面直线,解1,求过L1与 确定的平面,11,求过 L2与 确定的平面,注 此题已经认为所求的相交直线存在.,12,解2,L过点,设,L与L1,L2都相交,则有,13,故,14,解3,L 过点,设,L与L1,L2的交点分别为,参数方程为,15,取,故,线性代数与空间解析几何,第十三讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,16,第四章 n维向量,n维向量可以看作是平面上2维向量, 空间中3 维向量的推广.,引 言,本章是学好线性代数的关键,也是 学习线性代数的难点.尤其是线性相关 和线性无关的概念,难以理解掌握,容易 犯概念性错误.一定要结合例题,多动脑 勤思考.,17,n维向量的概念及线性运算 向量组的线性关系* 向量组的极大无关组与秩 向量空间 欧式空间,本章的主要内容,18,4.1.1 n维向量的定义,4.1 n维向量的概念及其线性运算,定义 数域F 内的n个数a1,a2 ,an组成的 有序数组称为数域F 上的 n维向量, 记作,或,其中ai称为向量的第i个分量.,行向量,列向量,复向量、实向量、Rn实向量全体,除非特别声 明,我们只在实数域上讨论实向量.,19,矩阵,有3个行向量:,有4个列向量:,例1, 如果向量的所有分量都是0, 就称其为 零向量, 记作,20,21, 向量可以看作是特殊的矩阵.从下面 关于向量的相等以及向量的线性运算 (加法和数乘运算)可以看出向量的线 性运算与矩阵相应运算的一致性.,定义,设有两个n 维向量:,和一个实数 kR, 则定义:,4.1.2 n维向量的线性运算,22,(交换律),(结合律),(分配律),(分配律),23,4.2 线性相关与线性无关,24,4.2.1 线性相关与线性无关的定义,定义,则称是1,2,m的一个线性组合, 也称 可由1,2,m线性表示. k1,k2,km称为表示系数或组合系数.,对于n维向量,1,2, m ,若存在,一组数 k1,k2,km, 使得, =k11+k22+kmm,1.线性组合,线性表示,设,试将向量 用向量 与 线性表示.,解,由观察可知,即,例2,25,又设,按向量相等即有,即,零向量可被任意一组向量线性表示,例3,如,0=(0,0,0 )=,0=(0,0,0 )=(1,0,0)-(1,1,0)+(0,1,0),26,n维向量组,为n维基本单位向量组.,且表示系数为 的n个分量.称向量组,例4,解 因,27,定义 设有n维向量组 ,存在不全为零的数k1,k2,.,km使得,则称向量组 线性相关, 否则称这个向量组线性无关.,2. 线性相关,线性无关,若,28,线性无关仅当 k1= k2=km=0 时, 才有,线性无关若,则k1, k2 , km必然全为零.,线性无关一组不全为0的数k1, k2,km,29,注:,使,是R3中三个向量, 由于2 = 21 , 因而有,系数 2,-1,0 不全为零,由上述定义可知 1, 2, 3 线性相关.,例5,30,例6,说明基本单位向量组是线性无关的.,解,设有一组数 k1, k2,kn, 使,故,线性无关.,32,预 习 4.3,不妨设 ki 0, 于是,定理4.1,4.2.2 线性相关性的一种刻画,33,即i 可由1, , i-1 ,i+1, , m线性表示.,如果,那么,所以向