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第六节 函数展开成幂级数,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 是什么?,上节例题,即得形如 函数的展开式.,需要考虑,问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数?,一 问题的提出,二 泰勒级数,1.Toylor公式：,复习前面的两个公式,2.Maclaurin公式,函数展开幂级数的必要条件.,定理1 若 在 处能展开成幂级数 则 在 内具有任意阶导数,且,令 ,即得,逐项求导任意次,得,即为泰勒系数,问题,定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数.,在x=0点任意可导,且,例如,麦克劳林级数为,该级数在 内和函数 可见,除 外, 的麦氏级数处处不收敛于 .,函数展开幂级数的充要条件.,定理2 在点 的泰勒级数,在 内 收敛于 在 内,充分性,即,的泰勒级数收敛于,定理3 设 在 上有定义, 对 恒有 则 在 内可展开成点 的泰勒级数.,证明,在 收敛,故,可展成点 的泰勒级数.,三 函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,写出 级数:,讨论 或,则级数在收敛区间内收敛于,解,在 上,解,且,解,在 内,若,利用,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意在 处收敛性与 的取值有关.,双阶乘,当 时,有,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换,四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.从而可以得到以下几个常见的展开式
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